Re: [微積] ln(1+x)的不等式

[Vulpix (Sebastian)]

※ 引述《zxm20243 ( )》之銘言：
: [題目]
: 試證明對於所有x > 0
: x - x^2/2 + x^3/3 * 1/(1+x) < ln(1+x) < x - x^2/2 + x^3/3
: [我的想法]
: 我目前可以用泰勒展開式做出右邊的不等式，
: 利用ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 * 1/(1+c)^3  (0 < c < x)
: 又(1+x)^(-3)為遞減，代入x = 0就有右邊的不等式
: 但左邊多乘上1/(1+x)就不曉得該如何處理，
: 有請各位大大救一下，感謝各位m(_ _)m

Let f(x) = [ln(1+x) - (x - x^2/2 + x^3/3)]*(1+x)

then f'(x) = 1 - (1-x+x^2)*(1+x) + ln(1+x) - (x - x^2/2 + x^3/3)

           = -x^3 + ln(1+x) - (x - x^2/2 + x^3/3)

     f"(x) = -3x^2 + 1/(1+x) - (1-x+x^2)

     f"'(x) = -6x - 1/(1+x)^2 + (1-2x)

     f""(x) = -6 + 2/(1+x)^3 - 2 = 2/(1+x)^3 - 8

In particular, f(0) = f'(0) = f"(0) = f"'(0) = 0

by Taylor's Theorem, f(x) = f""(ξ)/4! * x^4   for some 0<ξ<x

evidently, -8 < f""(ξ) < 0

=> -x^4/3 < [ln(1+x) - (x - x^2/2 + x^3/3)]*(1+x) < 0

=> x - x^2/2 + x^3/3 * 1/(1+x) < ln(1+x) < x - x^2/2 + x^3/3

Quod erat demonstrandum

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.230.120.96
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1468231142.A.8CD.html
推 transt      : 這個好猛@@
推 zxm20243    : 很猛+1！構造這個函數實在有點厲害XD
唔，剛開始一樣是嘗試 ln(1+x) - (x - x^2/2 + x^3/3)，

畢竟 Taylor's Theorem 的起手式就是這樣。

結果左邊沒那麼容易出來，覺得都是分母的 1+x 太可惡，

把它乘到分子去試試看，然後就出來了。

而且上界還可以被往下壓：-8 < f""(ξ) < -6。
※ 編輯: Vulpix (61.230.120.96), 07/11/2016 22:25:07
推 vata        : 高手....