→ jack7775kimo: f^m(x)->y,as m->oo. d(y,f(y))<d(y,f^m(x))+07/12 20:47
→ jack7775kimo: d(f^m(x),f^(m+1)(x))+d(f^(m+1)(x),f(y)) <07/12 20:48
→ jack7775kimo: 2d(y,f^m(x)+d(f^m(x),f^(m+1)(x)), which can be07/12 20:48
→ jack7775kimo: arbitrary small by choosing m large enough07/12 20:48
→ jack7775kimo: by uniqueness, I think the answer is yes.07/12 20:49
謝謝幫想 但是我得不到答案正是不知道如何說明f^(n)(x) converges
也就是說 如果先說明他收斂 那我就會證
但是因為不知道是否收斂 我得到的小結果只能知道sub iteration f^(n_j)而之後做下去
只能得出f^(n_j +1) 完全得不到結果
※ 編輯: znmkhxrw (42.72.14.91), 07/12/2016 21:00:26
→ jack7775kimo: d_k=d(f^k,f^(k+1)),as you say f^(k(n))->y(by cpt 07/12 21:45
→ jack7775kimo: d_k->d, note d=lim d_{k(n)}=...=d(y,f(y))07/12 21:47
→ jack7775kimo: d(f^k(n),f^k(n)+1)<d(f^k(n)-1,f^k(n))<...<07/12 21:49
→ jack7775kimo: d(f^k(n-1)),f(f^k(n-1)))->d(f(y),f(f(y))<d(y,f(y07/12 21:52
→ jack7775kimo: if y=/= f(y), but this is a contradiction.07/12 21:52
→ jack7775kimo: 我第一次推的那些有點多餘了07/12 21:52
推 arthurduh1 : 令 y 是 fixed pt. 對 y 的任意 nbhd N07/12 22:30
→ arthurduh1 : 任意階 preimage f^{-m}(N) is open (f is conti.)07/12 22:31
→ arthurduh1 : 把 K 扣掉所有階的 preimage 還是 compact07/12 22:32
→ arthurduh1 : 由原定理知道若其非空，裡面一定要有不動點 07/12 22:33
a大是不是在證f有不動點呀!?
我是想證所有點的iteration都會趨於這個不動點
可是看你用到原定理, 似乎又不是如此, 可以再解釋一下嗎 謝謝
推 jack7775kimo: 樓上的作法不錯耶!07/12 22:56
j大你的第二次推文我看不太懂QQ
我詳述卡住的地方
想證明f^(n)(x) converges for all x
(如果收斂那我就可以證這個極限值等於不動點p了)
假設f^(n)(x) ≠ p for all n
則d(f^(n)(x), p) 嚴格遞減至 L
1. L=0 : done
2. L>0 : 則存在子列f^(n_j)(x) converges to y,進而有d(y,p)=L, 然後就卡住了
因為是子列 所以並不會有f(y)=y( 如果真的有, 那就是y=p, 推得L=0, done)
※ 編輯: znmkhxrw (61.231.99.240), 07/13/2016 06:28:29
※ 編輯: znmkhxrw (61.231.99.240), 07/13/2016 06:31:49
推 arthurduh1 : 因為我沒寫完...後面想說給你補 07/13 07:40
→ arthurduh1 : 上面說到由原定理知道，若 K- union of f^{-m}(N) 07/13 07:41
→ arthurduh1 : 非空，則其內部有 f 的不動點。(注意 f 的 domain 07/13 07:42
→ arthurduh1 : 可以 restrict 在其上) 07/13 07:42
→ arthurduh1 : 但 f 的唯一不動點 y 已經被扣掉，矛盾。因此此 07/13 07:43
→ arthurduh1 : 集合為空。也就是 K 裡面所有點都在 N 的某階 07/13 07:44
→ arthurduh1 : preim. 內。這其實就是拓樸上會趨近 y 的定義 07/13 07:45
→ arthurduh1 : 這樣這部分的論述完全可以避免 metric 07/13 07:46
推 arthurduh1 : 恩 更正 不完全是拓樸上的趨近 07/13 07:54
→ arthurduh1 : 還是接著用 metric，對任意 x in K, f^m(x) 最後 07/13 07:56
→ arthurduh1 : 一定會落入任意給定的以 y 為中心的 open ball 07/13 07:56
→ arthurduh1 : 因此 f^m(x) 趨近 y 07/13 07:56
→ arthurduh1 : p.s. 上面的可以 restrict 指的是依然會是 operator 07/13 07:58
推 jack7775kimo: 你把我第三第四行都取lim，y一開始並不知道是不是 07/13 09:48
→ jack7775kimo: 不動點，我是在說明他要是不動點 07/13 09:48
→ znmkhxrw : 了解了 謝謝! 07/18 15:26