[線代] 多次轉換變成單位向量

[steve1012 (steve)]

大家好
想要請教大家 以下這個東西是否有個名稱呢

假設我現在有一個向量 v=(1,2, ..., n)^T
我有兩種mapping f_1, f_2
兩個都是f : R^n -> R^n
所以會把 v map 到另一個 v'
比如說  f( (1,2,3)^T) = (1,1,1) 也是可以的
我現在想要找一個sequence of f
(f_1, f_2, ...  ) 可能是f_1, f_2 混雜的組合
經過這麼多次的mapping 以後 會得到(1,1,1)的倍數
e.g.
f_1(f_2(f_1(1,2,3))) = (2,2,2)
我想要知道這種轉換有個名字嗎 想要有個方向去找資料
給訂兩種轉換 f_1, f_2 我想要證明是否有方法可以得到 (1,1,1)這種vector

不好意思我表達好像沒有很嚴謹
但是不知道怎麼表達比較好
希望大家看得懂 並給個方向！

補充一下
1. f會把vector裡面的每個數字 換成 1~n中的某一個數字
2. 轉換完的vector有可能就沒有n種數字了 比如說 (1,2,3) -> (1,1,2)
3. f 可能是1對1 也可能是多對1
另外我也不確定這是線性代數的題目
我只是一開始想說可能有啥線性代數的性質
不過現在想一想好像也不太有關..


補充例子 假設現在有四個數字1,2,3,4 (起始一定都是1~n) 2種function f_1, f_2
mapping 為

x | f_1(x) | f_2(x)
-----------------
1 |    2   |   3
-----------------
2 |    4   |   2
-----------------
3 |    2   |   1
-----------------
4 |    2   |   3

也就是說 f_1(1) = 2, f_1(2) = 4 以此類推

則使用f_1兩次
(1,2,3,4) -> (2,1,2,2) -> (2,2,2,2)
這樣就符合條件

前面忘記提到的是“可以為f_1,f_2,...f_k 的任意組合"
並且結果只要所有數字相同即可 不必然是要 1,1,1,1
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※ 編輯: steve1012 (199.119.244.15), 07/15/2016 07:17:45
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※ 編輯: steve1012 (199.119.244.15), 07/15/2016 07:34:48
※ 編輯: steve1012 (199.119.244.15), 07/15/2016 11:23:55
※ 編輯: steve1012 (199.119.244.15), 07/15/2016 11:25:59
推 lpuy        : 請問你的例子裡，f_1. 2423. 是什麼意思呢？看不太
→ lpuy        : 懂
推 lpuy        : 還有你的mapping 是否是線性的呢？
f_1(1) = 2, f_1(2) =4, f_1(3) = 2 ...
mapping 就是一個數字對到一個數字 不在1~n裡面的數字沒有定義
會保證mapping到的數字一定在原本的1~n中
所以不一定是線性的
※ 編輯: steve1012 (199.119.244.15), 07/15/2016 12:17:30
※ 編輯: steve1012 (199.119.244.15), 07/15/2016 12:18:37
推 lpuy        : 如果map不是線性的，那就無法用線性代數的方式思考
→ lpuy        : 了，gg...
話說我想到另一個表示方式
1,2,3....n 改用e_1, e_2, e_3,e_4
則vector就是 e_1, e_2, e_3, e_4 的數量
所以(1,2,3,...,n) 就可以改表示為 v= (1,1,1,1,1...)

至於mapping  假設我希望1,2,3 map到4, 4 map到1
就可以寫成矩陣 M
   0 0 0 1
(  0 0 0 0 )
   0 0 0 0
   1 1 1 0

如此一來
Mv = (1,0,0,3)
數字等於 "有幾個4"

這樣的話問題就變成 找到一組sequence (A_1, A_2, ...A_k)
每個元素可以重複或是沒有 次序不限
能不能使
                         0 0 0 0
 A_1 x A_2 ... A_k =     1 1 1 1
                         0 0 0 0
就是某行皆為1 其餘皆為零 這樣想的話有幫助嗎
※ 編輯: steve1012 (199.119.244.15), 07/15/2016 12:29:28
→ THEJOY      : 有轉魔術方塊的感覺
推 motivic     : 反例:f_1,f_2 把1,2,3 只送到1,2,3 且4都送到4