Re: [線代] 任一向量多次轉換變成(1,1,1)的倍數

[lpuy (無)]

※ 引述《steve1012 (steve)》之銘言：
: 大家好
: 想要請教大家 以下這個東西是否有個名稱呢
: 假設我現在有一個向量 v=(1,2, ..., n)^T
: 我有兩種mapping f_1, f_2
: 兩個都是f : R^n -> R^n
: 所以會把 v map 到另一個 v'
: 比如說  f( (1,2,3)^T) = (1,1,1) 也是可以的
: 我現在想要找一個sequence of f
: (f_1, f_2, ...  ) 可能是f_1, f_2 混雜的組合
: 經過這麼多次的mapping 以後 會得到(1,1,1)的倍數
: e.g.
: f_1(f_2(f_1(1,2,3))) = (2,2,2)
: 我想要知道這種轉換有個名字嗎 想要有個方向去找資料
: 給訂兩種轉換 f_1, f_2 我想要證明是否有方法可以得到 (1,1,1)這種vector
: 不好意思我表達好像沒有很嚴謹
: 但是不知道怎麼表達比較好
: 希望大家看得懂 並給個方向！
: 補充一下
: 1. f會把vector裡面的每個數字 換成 1~n中的某一個數字
: 2. 轉換完的vector有可能就沒有n種數字了 比如說 (1,2,3) -> (1,1,2)
: 3. f 可能是1對1 也可能是多對1
: 另外我也不確定這是線性代數的題目
: 我只是一開始想說可能有啥線性代數的性質
: 不過現在想一想好像也不太有關..

有點有趣, 稍微想一下
f_1 f_2 為linear map可以用left multiplication transformation轉換成矩陣來思考
f_1(x)=A_1(x)
f_2(x)=A_2(x)
A_1  A_2 皆為n*n矩陣
這樣你的函數序列就可以視為這兩種矩陣的乘積 f_1(f_2(x))=A_1*A_2(x)
然後你的問題就簡化為
(1,1,1)是否為此矩陣乘積之eigenvector
如果是一般情況給定A_1 A_2那肯定是錯的 (隨便給個單位矩陣或零矩陣都找的到反例)
如果是特別的A_1 A_2 那麼乘積給定, 用電腦check看是否為eigenvector就好
最簡單的狀況就是(1,1,1)皆為A_1 A_2的eigenvector, 那不管如何組合都肯定會對

以上隨便想想, 參考參考

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推 steve1012   : 感恩!讓我想一下
推 steve1012   : 想要請教一下矩陣的設定方法
→ steve1012   : 我把例子寫在原po好了比較好表達
推 steve1012   : 不知道您的意思是不是 (1,2,3,4) 把它當成
→ steve1012   : (e_1, e_2, e_3, e_4) 這樣就有辦法寫成matrix了
推 steve1012   : 想一想還是不對 囧