[線代] rational function 的 zeros

[profyang (prof)]

設有個rational function 用 partial fraction expansion可以展成這樣:
         r1               rn
f(s)=1+------- + .... + -------
        s-p1             s-pn

A是對角矩陣 對角線上都是poles (p1...pn)
b是行向量,其中元素都是1
c^T則是列向量,其中元素是residues (r1...rn)
大概長這樣:

A=[p1 0 ... 0]    b=[1]   c^T=[r1 r2 ... rn]   b*c^T=[r1 r2 ... rn]
  [0  p2... 0]      [1]                              [r1 r2 ... rn]
   ..........       ...                               ............
  [0  0 ...pn]      [1]                              [r1 r2 ... rn]

證明:

f(s)的zeros (也就是f(s)=0的解) 為H=A-b*c^T的eigenvalues

我自己推了n=2的case好像對啦...不知道general來說對不對
感覺應該是某些教科書裡面會寫到
不知道有沒有大大能證明或者告訴我哪本書可以查到證明,謝謝!

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※ 編輯: profyang (114.37.180.148), 07/16/2016 21:24:05
推 Vulpix      : 因為det(sI-H)=f(s)*Π(s-p_i)
→ Vulpix      : 如果是證明的話，只需要一些行列式的計算技巧。
→ profyang    : 我也猜是樓上這樣 可是這怎麼證明?有什麼Thm嗎?
→ Vulpix      : 你的問題我已經在二樓回應了……高中學的就足夠了。
→ profyang    : 喔好 我化簡看看 我以為有一些很厲害的理論
→ profyang    : 好像確實可以證明 找到規律歸納法一下就出來了 謝謝