Re: [中學] 遞迴關係式

[keith291 (keith)]

※ 引述《petwing (主流想法不一定是好的)》之銘言：
: a_1 = 6
:              1
: a_(n+1) = --------
:           a_n + 1
: 求 a_n 的一般項
: 謝謝

取 k = (1 + √5)/2


則由   a_(n+1) = 1/(a_n + 1)


有 a_(n+1) + k = 1/(a_n + 1) + k

               = k(a_n + k)/(a_n + 1)


取倒數

 1/(a_(n+1) + k) = (a_n + 1)/( k(a_n + k) ) = (1/k)(1 + (1-k)/(a_n + k) )

令 b_n = 1/(a_n + k), 有 b_1 = 1/(6 + k)

得 b_(n+1) = (1/k)(1 + (1-k)b_n) = 1/k + ((1-k)/k)b_n

令 t = (1-k)/k

有           b_n =   t b_(n-1) + 1/k

       t b_(n-1) = t^2 b_(n-2) + t/k

     t^2 b_(n-2) = t^3 b_(n-3) + t^2/k
                 .
                 .
                 .
 +) t^(n-2) b_2  = t^(n-1) b_1 + t^(n-2)/k
---------------------------------------------
            b_n  = t^(n-1) b_1 + (1/k)( (1-t^(n-1))/(1-t))

                 = 1/(a_n + k)


故 a_n = 1/((t^(n-1) /(6 + k)) + (1/k)( (1-t^(n-1))/(1-t))) - k

其中 t, k 如上所令

化簡留給你, 計算有錯請告知

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.160.8.26
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1469468263.A.5BA.html
推 petwing     : 謝謝k大解答，不過我那位高中朋友應該看了會瘋掉...
推 phs         : 為什麼取 k = (1 + √5)/2 ? 照你這麼做,k可以任意
推 FAlin       : 回樓上，兩邊加k，倒數，右式提出1/k才能產生
→ FAlin       : 1/(a_n+1) = 常數 + 1/(a_n-1+1)*k
→ FAlin       : 目標是配成分母都是 an + "相同常數"
推 phs         : 原來如此,就是由b_1=1/(a_1+k) = 1/(6+k)
→ phs         : b_2=1/(a_2+k) = 1/(1/7 +k)=7/(1+7k)
→ phs         : 然後帶入b_(n+1) = (1/k)(1 + (1-k)b_n)
→ phs         : 所以有 b_2 = (1/k)(1 + (1-k)b_1)
→ phs         : 即7/(1+7k)=1/k + ((1-k)/k)(1/(6+k))= 7/(k(k+6))
→ phs         : 整理得k^2-k-1=0 ,所以 k = (1 + √5)/2
→ phs         : 照這樣的邏輯 應該不要一開始就取k = (1 + √5)/2
→ phs         : 因為k是可以由上面的計算過程得到的
這個 k 當然是計算得到的

我們希望 a_(n+1) + k = 1/(a_n + 1) + k

                     = (ka_n + (k + 1))/(a_n + 1) 有機會互消

所以分子比例要一樣即 1 : k = k : k + 1

才解出可以用的 k 值

只是打這篇的時候都要睡啦, 偷懶一下 :P
※ 編輯: keith291 (111.248.111.233), 07/26/2016 14:28:14
推 phs         : 這招挺神的! 要想到真不簡單