[分析] Bolzano–Weierstrass theorem的證明

[ppu12372 (高能兒)]

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Bolzano%E2%80%93Weierstrass_theorem

我想問的是維基百科Alternative proof的倒數第二段

Because we halve the length of an interval at each step the limit of the interval's length is zero. Thus there is a number X which is in each Interval I_n

為什麼 若 範圍趨近於無限小 則 數列會收斂到一個X?

我目前只能確定 若 數列會收斂到一個X 則 範圍趨近於無限小

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推 Elvstar     : 因為完備性公設(?
推 a811612     : 我的想法是，當範圍不斷縮小時，我假設In的開區間半
→ a811612     : 徑是epsilon,而且在這個區間內仍然有數列中無限多
→ a811612     : 個點。也就是說，存在一個正數N使得任何n>N都有|a_(
→ a811612     : n)-x|<epsilon
→ a811612     : (這是顯然的，因為妳有無限多個點在這區間中)這樣就
→ a811612     : 符合數列收斂的定義了
你這邊的x指的是甚麼??
區間In中的任意一點嗎?
推 Desperato   : 範圍的左邊界是遞增數列 右邊界是遞減數列
→ Desperato   : 根據實數的完備性 左邊的數列存在最小上界y
→ Desperato   : 而且這個y顯然都比右邊的遞減數列小
→ Desperato   : 因此y會落在每個範圍裡面
→ Desperato   : 現在如果有y和z都落在每個範圍裡面
→ Desperato   : 那y到z的距離會被壓縮成0 因此是唯一一點
→ Desperato   : 英文那段敘述只是說 存在一點落在每個範圍裡面
→ Desperato   : 這點是不是數列的收斂值 是那段後面才證的東西
謝謝，這個解釋很清楚^^
推 vata        : Bolzano-Weierstrass指的一個有邊界的區間裡頭, 如
→ vata        : 果有數列包含在裡面, 則該數列一定有收斂的子數列
→ vata        : 你舉ln(x)的例子, 變成是連續的定義了, 和Bolzano-W
→ vata        : eierstrass沒什麼關係
推 vata        : 比如說你隨便給我一個數列，這個數列的每一項都包含
→ vata        : 在(0,1) 區間裡頭，則這個數列必定有收斂的子數列
推 vata        : 這就是Bolzano-Weierstrass要表達的意思
推 a811612     : v大，如果您是指我的部分的話，那個In是指第n個區
→ a811612     : 間，沒有標示好讓您誤會了~~
推 secjmy      : v大是把In看成Ln了嗎XD
推 vata        : 只看到推文的ln 囧
推 vata        : 耍笨了
※ 編輯: ppu12372 (36.231.239.193), 08/01/2016 11:37:08
→ THEJOY      : 基本上就是 Cantor Intersection Theorem
※ 編輯: ppu12372 (117.19.112.216), 08/01/2016 16:48:15