[微積] 如何證明任一可微函數的黎曼和收斂？

[ppu12372 (高能兒)]

就是當切割數n趨近於無限大時黎曼上和和下和會收斂

還是說其實不一定收斂？

另外再問如果是連續但不可微呢？
不連續呢？

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推 vata        : 你可以先討論最簡單的case, f(x)在閉區間[a,b]是正
→ vata        : 的，並且連續
→ vata        : 當f(x)在閉區間連續，那麼它一定有界
→ vata        : 下積分會在你分割越來越細的時候形成遞增的數列
→ vata        : 但是因為f(x)有界，所以你的下積分一定會收斂
→ vata        : 上積分也同理可推。
我最大的問題就在於怎麼證明下和會是遞增數列呀QQ
※ 編輯: ppu12372 (101.13.160.25), 08/05/2016 11:57:48
推 Desperato   : 最大最小值是有限個的情況 直接分段解決就好
→ Desperato   : 呃 不對 不用管極值 下和本來就遞增
→ Desperato   : 你把原本的下和切的更細的時候
→ Desperato   : 證明那些長方形不可能變小 這樣就遞增了
推 vata        : 一個函數f(x)在閉區間[a,b]是正的情況下，我們先
→ vata        : 切割兩個partition[a,c1]和[c1,b]
→ vata        : 接著再切割更細 [a,c2] [c2,c1] [c1,c3] [c3,b]
→ vata        : 你從[a,c1]找到的最小值，一定小於[a,c2]和[c2,c1]
→ vata        : 的最小值，所以從定義來看，你的下積分一定會遞增
推 vata        : 應該要說下和才對，下和最後收斂稱為下積分