Re: [微積] 如何證明任一可微函數的黎曼和收斂？

[Eliphalet (我大聲講嘢唔代表我冇禮)]

※ 引述《ppu12372 (高能兒)》之銘言：
: 就是當切割數n趨近於無限大時黎曼上和和下和會收斂
: 還是說其實不一定收斂？

  會的，事實上連續就夠了

  若 f 在閉區間 [a,b] 連續，則 f 亦為 uniformly continuous

  你自己寫的話可以從這點下手。

  如果要證明，網路上打個關鍵字都找的到


: 另外再問如果是連續但不可微呢？

  同上

: 不連續呢？

  可能黎曼可積也可能不可積

  事實上，黎曼可積的充要條件是有界加 continuous a.e.

: -----
: Sent from JPTT on my Asus ASUS_Z00AD.

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 219.85.157.139
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1470318841.A.14E.html
推 jackieputint: 還有不連續點有限
→ jackieputint: 只要不連續點有限，那就黎曼可積了
推 suhorng     : 不連續不必要有限, 只要 measure zero
→ vata        : 黎曼可積還是要有限吧
→ vata        : 當x為有理數，f(x)=1   當x為無理數，f(x)=0
→ vata        : 像上面這個函數在[0,1]上黎曼不可積
→ vata        : 但是Lagrange可積
推 vata        : 因為黎曼積分是用patition切割取極限
不需要有限，前文內已經說過了，充要條件是 continuous a.e. …
至少我們知道遞增函數必黎曼可積，我們可以很簡單的製造一個在 [0,1]的有理數都不連續的 f
Lagrange  係筆誤？

P.S. 我發現昨天看錯錯東西，所以回的問題有點雞同鴨講，不過原PO問題的標題問黎曼和就是了…
※ 編輯: Eliphalet (61.56.12.194), 08/05/2016 18:00:11
推 vata        : 筆誤，是Lebesgue可積
→ Desperato   : vata舉的函數不只無限點不連續 是根本沒有連續點(?
推 suhorng     : vata 大舉的根本沒有 continuous a.e. 啊...
→ suhorng     :  en.wikipedia.org/wiki/Thomae%27s_function
→ suhorng     : 黎曼可積, 不連續點有可數無限多個
推 vata        : 一時腦袋混亂，謝謝上面一些大大的指教
→ jackieputint: 啊啊…對要可數，感謝大大的提醒
推 suhorng     : 這個好像叫 Lebesgue criterion (for Riemann
→ suhorng     : integrability). 照定理敘恕不一定要可數, 像
→ suhorng     : Cantor set 就是不可數但 measure zero. 如果有辦
→ suhorng     : 法弄出不連續點不可數多但測度零的函數應該還是可積