[其他] 有限項集合一定存在最大/最小元嗎？

[ppu12372 (高能兒)]

若S為一有限集合

那是否集合內一定存在一個元素s1滿足
所有的s屬於S都小於等於s1?

如果一定有最大/最小元，請問該如何證明><

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 180.204.37.55
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1470903461.A.C33.html
→ Desperato   : 拿一個和其他比 取小的那個 比過丟掉 有限步會做完
我也是這樣想的，我就卡在不知如何證明有限步驟會做完
※ 編輯: ppu12372 (180.204.37.55), 08/11/2016 16:51:32
我利用三一律，先在集合中任取一個元素，跟所有元素比較(包含取的那個元素)然後刪掉小

首先確定不論我做幾步，做完後新的集合元素量都大於等於1

再來，我做的每一次新集合的元素量減前一個集合的元素量一定大於等於零
推 a811612     : 用數學歸納法就可以了
※ 編輯: ppu12372 (180.204.37.55), 08/11/2016 17:02:49
推 a811612     : http://i.imgur.com/64qQSIq.jpg
哦哦這個證明漂亮！
謝謝^^
→ Desperato   : 自然數有良序性質: 每個子集合都有最小元素
→ Desperato   : 假設做不完 你會得到一個一直遞減的元素量集合
→ Desperato   : 每個元素量都是自然數 但沒有最小元素就矛盾
推 a811612     : 補充說明: n 是個數，用數學歸納法就可以得到可數
→ a811612     : 集合必定有最大元素，所以有限集合一定有最大元素
※ 編輯: ppu12372 (180.204.37.55), 08/11/2016 17:12:25
→ mnxcs       : Well-ordering principle
→ recorriendo : 不用到Well-ordering principle
→ recorriendo : Well-ordering principle等價Axiom of Choice
→ recorriendo : 但是這有縣級的情況在ZF裡就可以做了
推 xcycl       : 前提有說是自然數的子集合嗎
推 c14871083   : a811612大的字好漂亮！
→ Desperato   : 自然數的well-ordering property用數歸就行了
→ Desperato   : S不見得是自然數子集合 但集合大小(元素個數)是
→ xcycl       : 對沒有序的集合這問題沒有意義，直接任取兩元素定
→ xcycl       : 做最大最小，其他的無法比較，不限有限集合。
推 ZO20        : ||
→ Desperato   : 好吧，我又自動補正了...
推 recorriendo : 所以這問題正確問法是:在有限集上定義order 則必有
→ recorriendo : maximal/minimal element
→ recorriendo : 或者問:在有限集上定義linear order 則必有greatest
→ recorriendo : /least element
推 xcycl       : 任意的 order 不見得有，例如 discrete order, 只
→ xcycl       : 有自己可以比較，其他都不行。
→ recorriendo : maximal/minimal elem. 和 greatest/least elem.
→ recorriendo : 定義不一樣啊
推 xcycl       : 啊…對。