推 shingai : Q1多打一個零，Q2是y^2沒錯，Q4有9a 08/14 18:32
→ shingai : Q5是我解讀題目有錯，它是問條件機率若頭獎符合條件 08/14 18:33
→ shingai : 謝謝你，我真的眼殘+腦殘～～ 08/14 18:34
※ 引述《shingai (吸收正能量)》之銘言：
問題有點多...
: Q1 已知兩相異正整數的最小公倍數為5040000，求正整數解的共有幾組？ Ans:686
: 想利用N1*N2=gcd(N1,N2)*2^6*3^2*5^3*7，但沒什麼想法
根據你的質因數分解和答案，我猜題目應該是問504000
首先考慮有序的(a, b)
若 a = 2^r, b = 2^s, 則[a, b] = 2^max{r, s}，因此 max{r, s} = 6
(r, s) = (0, 6), (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6)
(6, 0), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) 共13種
所以總共應該有(6*2+1)(2*2+1)(3*2+1)(1*2+1) = 1365種
扣掉 a = b 的情況1種再除以2，算出682，不知道為什麼少了...
: ____________________________________________________________________
: Q2 方程式y^3-3xy+x-y=0 有整數解，求所有整數解（x,y) Ans:(0,0), (0,1)
: x=y時，容易求得零解
: 但怎麼排除|y|>1無其他整數解？
我算的答案不太一樣，不確定題目有沒有打錯
x = (y^3-y)/(3y-1)，分子=0則有整數解(0, 1), (0, -1), (0, 0)
設分子不為0，y != 0, 1, -1
注意到(y, 3y-1) = 1，所以3y-1不整除分子的y，可以除過去
x/y = (y^2-1)/(3y-1) = (y^2-3y)/(3y-1) + 1
(x/y-1) = y * (y-3)/(3y-1)，同樣的y可以除過去
因此(y-3)/(3y-1)是整數，(3y-1) | (y-3)，(3y-1) | 8
暴力測試可以得到y = 0, -1, 1, 3 (前三個不合)，所以還有一個解(3, 3)
後來看了一下，會不會y^3原本是y^2才對，反正做法都差不多
: ____________________________________________________________________
: Q3 方程式(1-i)x^2+(m+i)x+(1+i*m)=0 ； i=sqrt(-1), m是實數
: 求m的取值範圍(充分必要條件)，使得方程式有兩個虛根 Ans: m =\= 2
: 這題應該不是整數論的範疇，但...還是一起問好了＠＠
假設方程式有實根 a
代入整理得到(a^2 + am + 1) + (-a^2 + a + m)i = 0
所以實部和虛部都是0，相加得到(a+1)(m+1) = 0
a = -1 的時候 m = 2，m = -1的時候無解
: ____________________________________________________________________
: Q4 若a, b皆為非零實數，已知方程式x^2-bx+9=0 有重根，並且x^2+ax+b=0之兩根皆為3的
: 倍數，求a, b 之值？ Ans:(a,b)=(9,18)
: 由判別式知道b^2=36a， 可設定a=9m^2, b=18m ，再來就不曉得怎麼確定解範圍了
題目中的x^2-bx+9應該是x^2-bx+9a
顯然 b 不是0，所以 m 是 >=1 的整數
後面那條的判別式是平方數，a^2 - 4b = k^2 = 9 (9m^4 - 8m)
9m^4 是個大平方數，卻只減了一個小小的8m，八成不是平方數
實際上就是證明 (3m^2 - 1)^2 < 9m^4 - 8m < (3m^2)^2 ，夾在兩平方數之間
很容易發現 m >= 2 的時候上式成立
: ____________________________________________________________________
: Q5 某人買樂透，遊戲規則： 自1～42整數中取出六個相異數字，符合頭獎的條件：
: 若對六個分別以10為底取對數值再相加後，和為一個整數。
: 求某人完此遊戲中頭獎的機率？ Ans: 0.25
: 假設六個數字為x1*x2*x3*x4*x5*x6 = 10^k for some integer k，再來就沒轍～
: ______________________________________________________________________
題目和答案不合
d| -2 -1 0 1 2 3 4 5
-|---------------------------------
| 25 5 1 2 4 8 16 32
10 20 40
在以上的表中取6個相異數字，使得它們的d加起來是0
很快就會發現只有 4 種選法: 25, 5, 1, 10, (2, 20), (4, 20)
答案看起來是1/4，不過不知道題目怎麼改才對，算了
: 以上問題，請多多指教，非常謝謝！
bug有點多...
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