Re: [微積] 極限值請教

[a016258 (憨)]

※ 引述《TheLastHope (最後希望)》之銘言：
: http://i.imgur.com/pT5UHPl.jpg
: 第八題兩小題算極限值
: 小弟算了很久都算不出來

8(a) (i)

note: d/dx ( ln ( x + √(1+x^2) ) ) =  1 / √(x^2+1)

通分 => L'H

          -1                  -1
=>    (x+1)   - ( √(x^2 + 1 )
     -----------------------------
     ln ( x + √(1+x^2)     ln(x+1)
     ------------------ +  --------
         ( x + 1 )          √(1+x^2)

上下同乘 (x+1)( √(1+x^2 ) 再L'H


=>             x/(√(1+x^2)      - 1
     ---------------------------------------
          x ln(√(1+x^2)
    [ 1+ ---------------- ] +  1 + ln( x +1 ) ]
           √(1+x^2)

=> - 1/2

8(a) (ii)

在 x=0 展開

ln( x + sqrt( 1 + x^2) ) = x - x^3/6 + O(x^5)

ln( 1 + x ) = x - x^2/2 + O(x^3)

通分: 分母 x^2 係數 1 , 分子 -1/2

=> -1/2


8(b)

(*) int (0..1) cos t / t^2 dt  diverge

          int (0..1) cos t / t^2 dt
=> lim  -----------------------------
   x->0           1/x


            - cos x / x^2
=  lim   ------------------- = 1
   x->0       - 1 / x^2


有錯還請不吝指正。

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  「人生最絕望的不是別人有多麼天才，而是那個天才比你還努力。」


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推 TheLastHope : 感激不盡
→ TheLastHope : 請問 d/dx ( ln ( x + √(1+x^2) ) ) =  1 / √(x^2
是否需要記下此式子可以自行斟酌

比較常會用到的是積分形式 int 1/√(x^2+a^2) dx = ln ( x + √(1+x^2) ) + C

btw , 這題我記得政大風管 95 年前後也有考過

所以風管的題目應該也蠻值得做一下的...

→ TheLastHope : +1)是什麼特殊的結果需要有印象嗎
推 suhorng     : 雙曲函數代換積分會出現 但直接微也很好算
→ TheLastHope : 那(b)小題的積分會發散掉是因為函數趨近0的時候就發
→ TheLastHope : 散了?
推 suhorng     : 函數發散並不能推出瑕積分發散; 要函發散的 "太快"
→ suhorng     : 舉例: ∫1/(2√x) dx
※ 編輯: a016258 (218.161.70.138), 08/18/2016 23:18:45
※ 編輯: a016258 (61.230.196.112), 12/31/2018 15:36:42