推 arthurduh1 : 感覺你是希望造出一個存在性、且非建構性的證明 08/18 20:33
你的意思我有點看不懂~
這種證明當然是要真的 construct 出一個柯西但不收斂的數列呀
只是我點出原po的那種構造方法不ok
→ arthurduh1 : 如果能把它弄得很漂亮是滿有趣的，不過好像有點難度 08/18 20:34
→ arthurduh1 : 否則不管怎樣如果直接造出一個所求的 seq. 基本上 08/18 20:35
→ arthurduh1 : 就等同於找一個 R\Q 裡的元素 08/18 20:35
應該還好, 其實我是想 push 原 po 多想想.
應該是可以就造一個柯西數列, 然後設它收斂到某個有理數 L, 然後推出矛盾就好.
譬如可以挑一個收斂到根號2的數列 (當然要自己想怎麼construct出來
並且我們自己偷偷知道就會收斂到根號2就好,不要寫出來)
接著證明它是柯西,
然後再證明說若此數列收斂, 且收斂到 L 且 L 是有理數, 則會推得矛盾.
這個證明感覺三兩下就弄得出矛盾, 不難,
並且過程感覺是不會有類似證明根號2是無理數那種動作.
推 arthurduh1 : 我覺得這樣跟證 根號2 是無理數是同一個證明耶 08/18 21:20
→ arthurduh1 : 我好像把你的想法弄得太複雜了 08/18 21:22
→ arthurduh1 : 但如果你還是有 explicitly 做一個 seq. 08/18 21:23
→ arthurduh1 : 那好像就跟證明「Q\R非空」是同一回事了? 08/18 21:24
→ arthurduh1 : *寫反了 R\Q 08/18 21:24
→ arthurduh1 : 但目前看過的證明都還是要自己挑一個無理數 08/18 21:26
推 arthurduh1 : 而我以為你的意思是有辦法不明確挑個無理數，只證明 08/18 21:29
→ arthurduh1 : 存在性 08/18 21:29
→ arthurduh1 : (上面說 與非空同一回事 那句是廢話 :P 08/18 21:32
我有點看不懂, 不過我把我的意思補充完整一點.
分析裡的整個對於根號2的picture是這樣(如果走用有序體定義實數的方法的話)：
是先證明 x^2=2 有正實數根，然後把它稱為根號2，
再證明根號2不是有理數。所以知道有個實數它不是有理數，
於是知道R\Q非空，就把這集合稱為無理數。(所以根號2是無理數)
注意噢，不可以覺得用高中教的那套證明完根號2不是有理數之後，就認為它是無理數，
不行、不行、不行！因為你連它是不是實數都不知道，搞不好它根本什麼數都不是。
一堆人學高微學了老半天，這都搞不清楚。
再來再回到Q不完備的這個問題，也就是有個Q的柯西數列不收斂
這證明方法兩種, 一種是我上面有提我說我不推崇的,
就是先接受了實數的存在, 然後造一個每一項都是有理數但收斂到根號2的數列,
然後證明說它是柯西 (這步可以用定義做,
也可以說是把這個Q的數列想成實數的數列, 因此有 convergent → Cauchy),
又根號2是無理數, 所以不在Q裡,
又因數列的極限唯一, 收斂到根號2就是根號2, 不會再收斂到別人,
所以那數列在Q裡是不收斂的.
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但我覺得這樣不漂亮 所以我的想法是我剛上面補充的那個
※ 編輯: alfadick (118.168.102.222), 08/18/2016 22:03:27
推 jackieputint: 直接定一個 08/18 21:48
→ jackieputint: (1+1/n)^n 08/18 21:48
→ jackieputint: 收斂到e 08/18 21:48
e的話麻煩也是很多, 首先你e怎麼定義? 再來e是無理數非常非常難證噢...
※ 編輯: alfadick (118.168.102.222), 08/18/2016 22:05:21
推 yusd24 : 用 1+1/2!+1/3! 這個定義應該容易多了 08/18 22:07
推 suhorng : ar 大就只是想說不知有沒有漂亮的非構造性存在證明 08/18 22:18
推 arthurduh1 : 高中是因為沒有實數完備性，所以會跳過存在性證明 08/18 22:20
→ arthurduh1 : 但若已知道根號2存在，接下來要證他是無理數這件事 08/18 22:21
→ arthurduh1 : 和這裡要說某數列收斂到某個R\Q裡的元素a 08/18 22:23
→ arthurduh1 : (a我們偷偷知道是根號2) 這兩件事是差不多的 08/18 22:23
不一樣, 你只要假設它收斂到某個有理數q, 但發覺會推得矛盾, 就可以了
過程中我們不關心它實際會收斂到誰.
畢竟還是跟 "先證明某個數L是無理數, 然後數列會收斂到它" 不一樣
→ arthurduh1 : 當然因為數列構造方法不知道，我不能說完全一樣 08/18 22:24
→ arthurduh1 : 如果要讓兩件事差很多，可能就要想辦法讓你的數列 08/18 22:25
→ arthurduh1 : 他的「收斂到根號2」這性質很不顯然 08/18 22:26
→ arthurduh1 : 其實後面這邊推文都是在回你補寫的 08/18 22:27
→ arthurduh1 : 一開始我會推文主要是因為你說 08/18 22:27
→ arthurduh1 : 「不要像剛講的, 偷偷知道...」 08/18 22:28
→ arthurduh1 : 但我們就是因為偷偷知道才會這樣證阿XDD 08/18 22:28
→ arthurduh1 : 所以才想說你是不是有非構造性證明 08/18 22:28
推 arthurduh1 : 突然發現原PO會有這樣的論點是因為「通常會假設R 08/18 22:31
→ arthurduh1 : 還沒誕生」這句。但我印象好像都是先構造實數 08/18 22:33
那是 Rudin, Wade 才降子(因為這樣子訂很省力, 跟暴力沒兩樣, 但缺點就是不自然)
其實很多書還是從自然數開始構造起 然後用Dedekind cut之類從有理數建構出實數
→ Desperato : 根號2的話 a_(n+1) = (1/2) (a_n+(2/a_n)) 會好做 08/18 22:35
推 arthurduh1 : 所以原PO擔心的問題應該是不存在 08/18 22:35
→ Desperato : 很多 先證是科西數列 後證不收斂到任何有理數 08/18 22:37
→ Desperato : Rudin是以「Q沒有最小上界性質」切入 然後創造R 08/18 22:40
對 跟我同意思
推 arthurduh1 : 當然可以不構造實數，不過狀況就不會像你說的三兩 08/18 22:41
→ arthurduh1 : 下就證出來，應該會比本來根號2 非有理數的證明還長 08/18 22:41
→ Desperato : 雖然最小上界性質和完備性等價 不過那是後來的事了 08/18 22:42
→ Desperato : 不構造實數就我說的方法 不會碰到根號2 08/18 22:42
→ Desperato : （雖然我也沒證過 那是空想的方法XD 08/18 22:43
推 suhorng : @arthurduh1: 我在想就構造這個 √2 序列的方法就用 08/18 22:53
※ 編輯: alfadick (118.168.102.222), 08/18/2016 22:54:56
→ suhorng : 造一個序列讓 x^2-2 → 0 然後接上一般的不存在 p/q 08/18 22:55
→ suhorng : 平方是 √2 那樣. 前面不知道寫起來會多麻煩 08/18 22:56
→ Desperato : e 光是"收斂" 就幾乎等於承認實數存在了 08/18 23:04
→ arthurduh1 : @suhorng 這樣可以~ 造序列方法可能會比較數論一點 08/18 23:09
→ arthurduh1 : 翻了下 Apostol 滿前面就訂出 e 了 08/18 23:10
→ suhorng : 就是最前面構造這個序列要寫的簡單又 formal 一時 08/18 23:12
→ suhorng : 想不出來...總不能說我用直式開方吧XD 一位一位的寫 08/18 23:12
→ suhorng : 應該可以雖然有點冗. 又不能直接用牛頓法 08/18 23:12
我發文時心裡想的就是 Des. 給的那個那個數列
※ 編輯: alfadick (118.168.102.222), 08/18/2016 23:13:33
推 arthurduh1 : 是不一樣阿 所以我說差不多XD 08/18 23:18
→ arthurduh1 : Des. 那個數列如果證出了不收斂到Q，那小修一下就會 08/18 23:18
→ arthurduh1 : 變成根號2是非有理數的證明了 08/18 23:19
→ arthurduh1 : 我的差不多是這個意思 08/18 23:19
→ arthurduh1 : 是證明難度，而不是邏輯上一樣 08/18 23:20
→ Desperato : 啊 因為 08/18 23:22
→ Desperato : 我心裡想的根號2非有理數證明 08/18 23:22
→ Desperato : 是數論的那個 我在想哪可能比那個更簡單 08/18 23:23
推 Vulpix : 先構造實數的做法其實很常見，分析很常用這一招： 08/26 22:49
→ Vulpix : 先把微分方程的解空間完備化，然後證明存在定理、 08/26 22:50
→ Vulpix : 唯一定理，最後再用解的正則性質說明還在原本的空間 08/26 22:51