Re: [分析] Q is not complete

[ERT312 (312)]

非構造性的證明
令A是所有這種有理數列的集合
0.a1a2a3a4.......
(上面這個有理數列是指 0.a1, 0.a1a2, 0.a1a2a3, .....)
十進位的小數展式
其中an是0到8之間的正整數
顯然它們都是柯西數列
但是它們並非都收斂 (in Q)
若A中每個元素都收斂到Q
則會存在一個函數 f:A→Q
f(a)是a的收斂值
f 是 injective 所以 #A≦#Q
(因為不同的A中的元素,若收斂 必收斂到不同的有理數)
但是 #A = 9^aleph0 > #Q

改這樣應該比較順
沒辦法我中文不好
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推 suhorng     : 喔喔 用 R uncountable 的證法!
推 arthurduh1  : 推個
→ alfadick    : 實數的小數表示法是個大哉問, 背後牽扯很多東西要證
→ alfadick    : 不知道這個追根究柢上去會不會用到所謂的"很多東西"
→ alfadick    : 因為我念書時小數表示法那裡跳過了
→ Desperato   : 看起來超威的XD 是說為什麼f是injective?
→ suhorng     : 這裡沒有用到實數的小數表示法
→ suhorng     : 只有有限小數而已
→ suhorng     : inj:"若收斂 必收斂到不同的有理數" 找第一位不同的
→ ERT312      : 回Desperato大:因為不同的A中的元素,若收斂 必收斂
→ ERT312      : 我這句應該放到f 是 injective之後 (中文太差 QQ)
推 arthurduh1  : 嚴格證的話要先找出最早的相異 a_i，然後說兩序列
→ arthurduh1  : 的有理數之間的差值有非零下界
→ Desperato   : 我在想的是 {1, 1.4, 1.41...} 和 {2, 1.4, 1.41...
→ Desperato   : 的差別
※ 編輯: ERT312 (61.227.242.86), 08/18/2016 23:28:16
→ Desperato   : 最早相異那幾句還是看不懂
→ suhorng     : 這裡的數列不包含 2, 1.4, 1.41 這種
→ suhorng     : 這不是像構造實數那樣取任意柯西序列
→ suhorng     : 都是只取同前綴的數列 (a1, a1a2, a1a2a3, ...)
→ Desperato   : 噢 我看懂前幾行在說什麼了 感謝XD
→ ERT312      : 嚴格證的話要補上一些細節 不過這個證明其實沒有用
→ ERT312      : R
→ ERT312      : 到 R
推 arthurduh1  : 這篇方法抽象化後是不是就變成 perfect set
→ arthurduh1  : 必定是 uncountable ?
→ Desperato   : 這個證明改一改 好像可以變成從Q創造R的證明
→ Desperato   : 就是證明所有無限小數的集合就是R
→ Desperato   : 是證明所有無限小數的集合就是R
→ Desperato   : 那也要那個perfect set先有個countable dense subse
推 arthurduh1  : Q dense呀  我是想繞過小數表示
→ Desperato   : 查了一下rudin perfect set會uncountable的的前提就
→ Desperato   : ^k耶
→ Desperato   : 就是R^k 有比較弱化的前提嗎
推 arthurduh1  : 在 complete space 裡就會 uncountable
→ Desperato   : 可是證complete space的時候就等於證R了吧
→ Desperato   : 也好
推 arthurduh1  : complete 是條件。  完整地說: 假設Q是complete,
→ arthurduh1  : 那 Q 就是自己裡面的 perfect set。然而 perfect
→ arthurduh1  : set in complete space 的話大小 uncountable
→ arthurduh1  : 因此矛盾。
推 Desperato   : 原來是這樣 推
推 znmkhxrw    : ar大這方法好快 推推
→ ERT312      : 推推