[代數] 商群(quotient group)的問題

[nobrother (nono)]

若H,K是群G的子群,且K是G的正則子群(normal group)


1.H/K 和 HK/K 有甚麼不同?

兩者的元素都是 h_iK ,∀h_i∈H



2.若K不是H的子群,是否仍然可以定義H/K?

似乎只要K是G的正則子群

H/K就可以滿足乘法的定義



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.253.11.70
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1471575439.A.174.html
推 Desperato   : by 2nd isom. thm, HK/K ~= H/(H cap K)
→ Desperato   : 如果寫的出H/K 那兩個就一樣
→ Desperato   : 2. 覺得不行
所以問題就在於能不能寫得出H/K

我有嘗試令G=S_4 , K=V={e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}

H={e,(123),(132)}

H/K={K,(123)K,(132)K}=HK/K 可滿足xK*yK=x*yK

(這邊的HK/K就有滿足原本的定義吧)

若是考慮h_aK*h_bK會不會等於h_a*h_bK

因為K是G的正則子群,又H是G的子群

所以推導之後可以滿足乘法定義
※ 編輯: nobrother (111.253.11.70), 08/19/2016 12:00:08
→ Desperato   : K不是H的子群 就只能定義HK/K了
→ Desperato   : 你搞錯H/K的定義了
→ Desperato   : H/K 是所有K的coset的集合 前提是K是H的子群
→ Desperato   : 你舉的例子中 K根本不在H裡面 也就沒有coset的問題
→ Desperato   : 而K是HK的子集 K在HK裡有coset 才能寫出HK/K
→ Desperato   : 不是把H的元素加到K的前面 就能變成H/K
→ nobrother   : 喔喔,了解,感恩