→ Desperato : corresponding isomorphism theorem 08/21 13:12
→ Desperato : 再不行的話 反正看到kernel就quotient下去就對了 08/21 13:16
→ wohtp : Abelian group的每個subgroup不都是normal嗎？ 08/21 13:30
→ wohtp : 所以...是我看錯題目，還是你看錯題目？ 08/21 13:31
→ wohtp : 啊是我看錯...原來有分G'和G 08/21 13:31
利用first isomorphism theorem
存在g:G/K--->G' , 其中g是monomorphism
又K⊂H
令H'={f(x)∈G':x∈H}
G = H+g_2H+...+g_mH = H+Hg_2+...+Hg_m (g_1=e)
觀察gH和Hg (g∈G)
因為G'是Abelian group
gH.Hg的元素經過f對應之後,都會落在f(g)H'中
又因為是injection
G中也只有gH或Hg可以對應到f(g)H'
然後gH跟Hg都包含於G
且|gH|=|Hg|
所以gH=Hg , 對所有G的元素g
請問這樣可以嗎?
(抱歉我的敘述能力很差)
※ 編輯: nobrother (111.253.16.235), 08/21/2016 15:38:34
→ kerwinhui : 最快的辦法：取 h:G'->G'/(Hf) 則 ker(fh)=H 08/21 16:16
→ kerwinhui : (因為 G' 交換，所以子群 Hf 為正則子群) 08/21 16:17
→ kerwinhui : 這個就是 D大說的直接 quotient 08/21 16:18
推 Vulpix : f(xhx^-1)=f(h)就可以知道xhx^-1=hk，然後就掉進H了 08/21 16:18
→ Vulpix : 其中k是Ker(f)中的某元素 08/21 16:21
→ Desperato : 噢噢k大好快喔 我還要慢慢對應XD 08/21 16:26
→ Desperato : 應該寫 在{gH}中只有gH對到f(g)H' 所以Hg in gH 08/21 16:28
→ Desperato : 反過來也是所以一樣 08/21 16:28
→ Desperato : 應該說Hg sub gH才對 08/21 16:29
→ nobrother : 謝謝大家，我再慢慢消化 08/21 16:32
→ nobrother : K的方法太猛了，感恩 08/21 17:09
→ nobrother : 請問V大，不用考慮會有f(y)=f(h)的情況嗎 08/21 17:09
→ nobrother : 謝謝D大提醒 08/21 17:10
→ Desperato : 他考慮了啊 如果f(y)=f(h) 則 y = hk, k in kerf 08/21 17:23
是,因為我一開始就是卡在這邊卡很久
一直在想會不會有 y =/= hk
然後f(y)=f(h)
後來才推導上面那一大堆
想說這是不是有比較簡潔的看法
※ 編輯: nobrother (111.253.16.235), 08/21/2016 17:58:13
推 Vulpix : 因為f(h^-1xhx^-1)=e'，所以h^-1xhx^-1屬於Ker(f)。 08/22 01:10
推 Vulpix : D大應該是說：Ker(f)<H<G，然後一起quotient Ker(f) 08/22 17:17
→ Vulpix : H/Ker(f) normal in G/Ker(f) (因為大家都abelian) 08/22 17:20
→ Vulpix : 對應回去就是H normal in G 08/22 17:21
推 Vulpix : 所以還有大絕XD Any subgroup contains the 08/22 17:25
→ Vulpix : commutator is a normal subgroup.(這題就是證這個) 08/22 17:26
→ Desperato : 對吼那就是commutator 超不熟這個 08/22 22:41