→ magicrex : 參照Peano axioms(皮亞諾公理)，第5條 08/22 08:57
→ suker : 無限大不成立 08/22 09:29
→ xcycl : Peano axiom 有個公設就是歸納法，在常用的 ZF 集合 08/22 14:53
→ xcycl : 論內也有一條相當於歸納法的 axiom of regularity . 08/22 14:53
→ xcycl : .. 08/22 14:53
→ Desperato : 在Peano's Axiom中 數學歸納法是公設 無法也不用證 08/22 16:07
→ Desperato : 集合論可以定義並證明Peano's Axiom 08/22 16:08
→ Desperato : 但就必須接受集合論公設 08/22 16:09
→ Desperato : 特別是無限公設：存在一個後繼集合 08/22 16:10
→ Desperato : 這個集合的定義和數學歸納法有八成像 08/22 16:11
→ Desperato : 可以參考Math板第一篇爆文 08/22 16:11
→ alfadick : 如果是用field來定義有理數,再回過頭來找自然數 08/22 21:56
→ alfadick : 那麼數學歸納法就變成定理,而不是公設,可以證它! 08/22 21:57
→ Desperato : field是怎麼定義有理數的啊oa o? 08/22 22:40
→ Desperato : 應該說 我想問的是 這樣定義有沒有閃過自然數定義 08/22 22:45
→ ERT312 : 不過自然數沒有歸納法就不叫自然數了,但是集合沒有 08/22 23:14
→ ERT312 : epsilon-induction 還是集合 08/22 23:14
→ alfadick : 回Desp. 就是暴力定他. 疑我記得Rudin不就這樣? 08/22 23:20
→ alfadick : 你怎麼會沒印象 08/22 23:21
→ suhorng : Rudin 沒有繞過自然數啊 他只是懶得寫到娜麼底層 08/22 23:31
→ suhorng : 不先造出 Q 怎麼驗證 Q 是不是個 field? 08/22 23:32
→ Desperato : 我現在想像的方式是 Q = 所有characteristic 0 fiel 08/22 23:35
→ Desperato : 交集 08/22 23:35
→ Desperato : 但光char~ 0有沒有繞過自然數 我都搞不清楚了 08/22 23:36
→ Desperato : 然後當然才用1去造出所有Q的元素 08/22 23:38
→ Desperato : 加上ordered field定義的話 Q好像只有一種order 08/22 23:40
→ alfadick : Rudin就是很暴力的訂個有序體唷！ 08/22 23:41
推 suhorng : "For example, Q is an ordered field." 這樣完全沒 08/22 23:42
→ suhorng : 有造出 Q 的意思吧? 08/22 23:42
→ Desperato : 話說回來 最小的ordered field好像就是Q了 08/22 23:45
→ Desperato : 因為finite field根本排不了序 08/22 23:46
→ suhorng : 是呢...只是一直在想取交集的話不同內容物無法取, 08/22 23:47
→ suhorng : 重新命名相當於有一個 injective homomorphism 過去 08/22 23:48
→ alfadick : 有序體+completeness 可以建構出實數(而且是唯一的) 08/22 23:48
→ suhorng : 但一開始的存在性又不知道要怎麼說了 08/22 23:48
→ alfadick : 抽掉completeness 基本上Q就是(但也有別種,好比R) 08/22 23:48
→ alfadick : 對, 所以我覺得我剛那樣說錯了, Rudin也沒這樣說 08/22 23:48
→ alfadick : "這樣的有序體存在" 應該就是公設的內容 08/22 23:52
→ Desperato : 抽掉completeness後的有序體可多了 08/22 23:52
→ Desperato : 光Q(sqrt(D))就一堆擺在那邊 order照抄R就好（欸 08/22 23:52
→ Desperato : 還是覺得 如果有什麼問題 08/22 23:54
→ Desperato : 就是char~ 0這個性質 和自然數有沒有關係吧 08/22 23:55
→ Desperato : 不然來想另一個問題 就假設Q定好了 08/22 23:59
→ Desperato : 要怎麼定義自然數 並證明數學歸納法 08/22 23:59
→ Desperato : 而且不能用自然數的性質 因為自然數一票性質是數歸 08/23 00:01
→ Desperato : 證的 08/23 00:01
→ Desperato : 0是自然數 n是自然數的話那n+1也是 08/23 00:15
→ Desperato : 不能寫成另一個自然數+1的都不是自然數 08/23 00:20
→ Desperato : 累了...qw q 08/23 00:22
→ alfadick : 若R的某個子集A滿足1 in A及a in A→a+1 in A 08/23 00:46
→ alfadick : 則稱A是歸納集 08/23 00:46
→ alfadick : 再把自然數定義為R裡所有歸納集的交集 08/23 00:46
→ alfadick : 總之就是在R裡面找N 08/23 00:47
→ alfadick : 這樣Peano的三個Postulates都變成了Theorem 08/23 00:48
推 arthurduh1 : 就算先造Q好了，數歸總還是從某些公設導過來 08/23 00:48
→ alfadick : (ps: 上面a in A→a+1 in A漏了for all a in A) 08/23 00:48
→ arthurduh1 : 嚴格來說是哪些公設? 感覺用這些公設直接推導 08/23 00:49
→ alfadick : 照這麼說, 數學裡所有非公設的東西,不都是這樣嗎 08/23 00:49
→ arthurduh1 : 數歸會自然一點。 如果是這樣先造Q就沒必要 08/23 00:49
→ arthurduh1 : 我沒說不行哪 所以我問你用了哪些 08/23 00:50
→ alfadick : 因為從Peano造自然數→再造整數→再造有理數 08/23 00:50
→ arthurduh1 : 每個人都可以有一套自己蓋數學大樓的方法阿 08/23 00:50
→ alfadick : 最後造實數 有些人認為太lengthy 08/23 00:50
→ alfadick : 所以就有些作者直接用有序體+完備性定義實數 08/23 00:51
→ arthurduh1 : 但如果你中間用的東西太像數歸，會顯得不自然罷了 08/23 00:51
→ alfadick : 那這樣自然數,整數,..就在實數裡面, 要去找它 08/23 00:51
→ arthurduh1 : 集合論本身導出自然數是很容易的，要講有序體至少 08/23 00:52
→ arthurduh1 : 要有集合論 08/23 00:52
推 arthurduh1 : 一般分析的數不會講到那麼底層，所以會認為他先 08/23 00:54
→ arthurduh1 : 構造Q。但實際上他有沒有先造整數是不太曉得的 08/23 00:55
→ arthurduh1 : *書 08/23 00:56
推 suhorng : @alfadick: 我覺得定義實數不夠. 我們訂出一堆 08/23 01:09
→ suhorng : Axiom 可不知道有沒有滿足這些 Axiom 的東西存在 08/23 01:10
推 arthurduh1 : 他把存在性當公設沒啥問題呀 但老實說這些事都是 08/23 01:13
→ alfadick : @suhorng 這感覺是數理邏輯的東西>< 我沒念過 08/23 01:13
→ alfadick : 感覺要cue recorriendo 08/23 01:14
→ arthurduh1 : 寫書的人比較要煩惱的，端看你想呈現哪些事 08/23 01:14
→ arthurduh1 : 講到重點是數理邏輯沒錯XDD 但分析的書就是不會 08/23 01:15
→ arthurduh1 : 碰到這些底層 就連 rudin 我看起來也是先有數歸 08/23 01:15
→ arthurduh1 : 因為他沒有提到，感覺就是當成跟集合論一樣自然 08/23 01:16
→ alfadick : 所以我不喜歡Rudin, 因為他寫書為了所謂簡潔, 08/23 01:18
→ alfadick : 一堆其實真的該提、讀者也會需要的東西其實都沒提 08/23 01:18
推 arthurduh1 : 可是如果要說到底層就會變得像 Russel 那樣... 08/23 01:19
→ arthurduh1 : 有一好沒兩好吧 08/23 01:19
推 suhorng : 書這樣寫是沒問題呀 就只是說已知別人證明了存在 08/23 01:23
→ suhorng : 這樣的東西我們可以當公設來用 08/23 01:23