Re: [幾何] 圓的幾何問題

[whenever7963 (Valkyrie)]

※ 引述《Stoudemi (Stoudemi)》之銘言：
: 請教版上的高手
: 這一題應該如何解會比較簡單
: 小弟一開始是利用R和r的關係來解
: http://i.imgur.com/IwBw2hz.jpg

http://i.imgur.com/vCGGtWK.jpg

簡言之，先找R與r的關係式

(2R+2r)/sqrt(2)+2r=2

(左圖)中央O最大就是直接切到整個正方形四邊再在旁邊塞4個小圓

(右圖)旁邊ABCD最大就是中央切十字把4個小圓切到中線為止再在中間塞O

面積A=(4r^2+R^2)Pi

利用Cauchy–Schwarz inequality找min

再利用邊界條件(R最大或最小時)找max

以上

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 220.129.111.103
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1472019174.A.013.html
推 Stoudemi    : 請教一下  用柯西求面積最小值我懂
→ Stoudemi    : 可是用邊界求最大值，怎麼確定一定是最大值呢
→ Stoudemi    : 因為用邊界卻無法求最小值
→ kerwinhui   : 令R'=2r則R+(1+sqrt(2))R'/2=2求R^2+R'^2最小
→ kerwinhui   : 漏了根號，R+(1+sqrt(2))R'/2=sqrt(2)
→ kerwinhui   : 明顯 0<=R',R<=1，所以R'>=(sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1)
→ kerwinhui   : 然後就發現 R'=這個邊界點的時候是最小
→ kerwinhui   : oops，是最大
→ kerwinhui   : 因為你有的是一個二次函數，當R無限大或負無限大時
→ kerwinhui   : 是正無限大，所以只能是U型，邊界最大的一定最大