Re: [分析] Q is not complete

[owo0098 (天津一)]

最近看e^2是無理數的證明時回去翻了下e無理數的證明，發現剛好可以當個範例

***參考至自Rudin的小紅書***
***這裡假設R已經被建構好了，例如用Dedekind cut***
***e定義為sigma 1/k! k從0到正無窮大***
***e is well defined***
***2<e<3***
證明有兩個要點:
1.e無理數(有個回文說很困難XD)
2.證明造的有理數數列(部分和)是科西數列，並收斂

證:
記a_n=sigma 1/k! k從0到n，n>=0
1.(反證法)假設e=p/q 因e不是整數故q>=2
有q!e=q!(sigma 1/k! k從0到q+sigma 1/k! k從q+1到正無窮大)
     =一個整數+1/(q+1)+1/(q+1)(q+2)+1/(q+1)(q+2)(q+3)+...
+號右邊的東西<=1/(q+1)+1/(q+1)(q+1)+1/(q+1)(q+1)(q+1)+...
              =1/q<1
但q!e是整數，從整數=非整數得到矛盾
2.設n>=m，有a_n-a_m=sigma 1/k! k從m+1到n
                   =1/(m+1)! * (1+1/(m+2)+...+1/(m+2)*...*n)
                  <=1/(m+1)! * (1+1/2+    ...+1/2 *   ...*(n-m))
                  <=1/(m+1)! * (e-1)
故a_n是科西數列，歛性就不證了
證畢

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※ 編輯: owo0098 (129.104.247.2), 08/25/2016 08:13:37
※ 編輯: owo0098 (129.104.247.2), 08/25/2016 08:14:40
※ 編輯: owo0098 (129.104.247.2), 08/25/2016 08:15:58
→ Desperato   : 有種相見恨晚的感覺（？
你有一張好陌生的臉(?
→ Desperato   : 好像可以用類似方法證明e^r是無理數
→ Desperato   : 只要r是有理數
→ Desperato   : 而且r不能是0（？
對阿e^r是無理數，對所有r非0有理數，然後可以證
pi^2是無理數參考自proofs from the bookp p35-41
→ Sfly        : e 的無理性很好證
※ 編輯: owo0098 (129.104.247.2), 08/25/2016 15:58:20
推 secjmy      : e是無理數很好證啊，學過微積分就夠了
→ secjmy      : 之前回文說很難證不知道是用什麼方法證的XD
→ secjmy      : 之前還看過某版本pi是無理數的證明，也滿短的
→ secjmy      : 關鍵字: Niven pi is irrational