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作者nobrother (nono)
看板Math
標題Re: [代數] [G,G]的封閉性
時間Fri Aug 26 22:32:53 2016
※ 引述《nobrother (nono)》之銘言： : 我現在在讀代數 : 用的是康明昌教授的近世代數 : 讀到正則子群(normal subgroup)的部分 : 書上說 : 設G是群,H=[G,G]也是G的正則子群, : 其中[G,G]是由{xyx_-1y_-1∈G:x,y∈G}生成的子群 : 我想問的是 : H的封閉性需要證明嗎? : 如果要,該怎麼做? : 我是令a,b,x,y∈G : 得m=aba_-1b_-1 , n=xyx_-1y_-1 ∈H : 但接下來要怎麼證明mn∈H 我就不會了 感謝很多網友的熱心回答 我也找了一些[G,G]的資料來看 我知道"生成"會包含封閉性 例如:<x>,每個元素都是x^i,i∈Z,這很好理解 但是在這邊的情況,為什麼能夠知道 由{xyx^-1y^-1∈G:x,y∈G}可以生成一個子群 (還是說,{}裡面的式子滿足甚麼條件, 必然可以生成子群?) 如果換個說法 任選四個實係數且det不為0的3*3矩陣a,b,x,y, 令m=aba^-1b^-1 , n=xyx^-1y^-1 則必可找到u,k 為實係數且det不為0的3*3矩陣 使得 uku^-1k^-1 = mn = aba^-1b^-1xyx^-1y^-1 似乎有點太鑽牛角尖了orz -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.253.21.143 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1472221975.A.90D.html
→ Vulpix : 你想錯了，commutator subgroup裡不必是commutator 08/26 22:46
→ Desperato : https://en.m.wikipedia.org/wiki/Commutator_subgr 08/26 22:57
→ Desperato : p 08/26 22:57
→ Desperato : 噢 糟糕 自己找吧XD 08/26 22:58
→ Desperato : 裡面有說 如果要有兩commutator相乘卻不是的例子 08/26 22:59
→ Desperato : 那G的大小至少要有96 08/26 22:59
→ Desperato : 不過Free group可以直接舉例解決 08/26 22:59
推 Vulpix : 樓上的free group實例可以去找first fundamental gp 08/26 23:08
→ Desperato : 聽到first fundamental gp就發抖... 08/26 23:53
→ nobrother : 謝謝兩位，所以在我舉的矩陣的例子，因為秩超過96， 08/27 00:02
→ nobrother : 所以會有屬於[G,G]，但不是commutator的情況 08/27 00:02
→ nobrother : 哈哈我又有問題了,書上證明[G,G]是G的正則子群時 08/27 09:24
→ nobrother : 是用任一a屬於[G,G],a=xyx^-1y^-1 08/27 09:25
→ Desperato : 應該是a=[x1,y1]...[xn,yn]才對 證法差不多 08/27 12:29
→ nobrother : 喔喔,了解 08/27 13:17
→ motivic : <S>:=所有包含S的子群的交集=包含S的最小子群 08/27 15:48
→ kerwinhui : 或者直接用A_0={e},A_n=A_{n-1}({e}\/S\/S^-1), 08/27 16:40
→ kerwinhui : <S>:= \/_{n=0}^oo A_n 08/27 16:41