作者znmkhxrw (QQ)
看板Math
標題Re: [分析] 求f(t)
時間Sun Aug 28 22:35:34 2016
※ 引述《Lanjaja ()》之銘言：
: 想請問板上強者一個從積分關係反求函數f(t)的問題。
: 假設f(t)是定義在t=0~2上面
: 2 1
: ∫f(t)exp(-st)dt = ________
: 0 1 + s
: 求f(t)？
: 感謝強者回答～
我覺得不存在這樣的f(t)
2
首先觀察 F(s):= ∫ f(t)exp(-st)dt
0
只要f在[0,2]黎曼可積或是L^1，那F在整個實軸都會有定義
如果我們可以證出F是連續的，那
lim F(s) = F(-1)
s→-1
然後 F(s) = 1/(1+s) with lim F(s) = inf 矛盾
s→-1
所以問題變成，如果f在[0,2]黎曼可積或是L^1都能證出F連續的話，那就矛盾囉
pf:
(case1) f is Riemann-integrable on [0,2]：
(hence F(s) is well-defined on R and f is bounded)
2
for any p€R, │F(s)-F(p)│= │∫f(t)(e^(-st)-e^(-pt)) dt│
0
2
<=M ∫│e^(-st)-e^(-pt)│dt
0
where M is the upper bound of │f│on [0,2]
最後小於epsilon就是利用e^(-st) continuous on R^2, hence uniformly continuous
on any compact subset of R^2
(case2) f is L^1 on [0,2]：
2
(hence F(s) is well-defined on R and ∫│f(t)│dt is finite)
0
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
↓
因為f€L^1, e^(-st)有界
所以fe^(-st)€L^1
for any p€R, │F(s)-F(p)│= │∫f(t)(e^(-st)-e^(-pt)) dt│
0
2
<= ∫│f(t)││e^(-st)-e^(-pt)│dt
0
~~~~~~~~~~~~~~~~~
<epsilon
2
<=epsilon ∫│f(t)│dt
0
-----------------------------
對了 反正黎曼可積必定L^1，所以直接用case2吃掉case1就好
--
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※ 編輯: znmkhxrw (36.227.0.48), 08/28/2016 22:37:28
→ Desperato : f(0)是無限大的話 會發生什麼事？ 08/28 23:01
f€L^1 有包含這個case呀
推 Lanjaja : 感謝z大 好像有點了解了 08/28 23:01
→ Desperato : 有沒有可能int f < inf 但是 int abs(f) 爆掉的 (沒 08/28 23:09
→ Desperato : L^1) 08/28 23:09
等等 你 ∫f < infinity 就是等價於 ∫│f│< infinity呀
因為∫f < infinity 本身就隱含有 f^+ 跟 f^_ 的積分都是finite
※ 編輯: znmkhxrw (36.227.0.48), 08/28/2016 23:27:57
→ Desperato : 雖然還沒證明出來 不過我猜(1/x)sin(1/x) 是個例子 08/28 23:41
→ Desperato : 不過至少證出有f的話也會長得很醜XD 08/28 23:42
→ Desperato : 那個東東積分和SI函數有關 加絕對值一臉爆炸樣 08/28 23:44
→ Desperato : 啊 不過一般能做laplace transform的函數 應該是有 08/28 23:49
→ Desperato : 的 08/28 23:49
→ Desperato : 限制的 就當成解決了好了(?) 08/28 23:50
推 jacky7987 : 就只能找不是L^1的函數了XD 08/29 00:58