[分析] 黎曼積分的一個等價敘述

[alfadick (悟道修行者)]

f:[a,b]→R bounded

由高微書給的黎曼可積分定義

For each ε>0, there exists a partition P such that U(f,P)-L(f,P)<ε

怎麼證出, 他會等價於

For each ε>0, there exists δ>0, such that

for all partition P with |P|<δ and all sample set T(在分割內任意取點的集合)

such that |S(f,P,T)-∫f dx|<ε

其中 S(f,P,T)是參照分割P跟抽樣集T的黎曼和,  ∫f dx是黎曼積分.

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→ jack7775kimo: 好像叫Darboux's theorem，Marsden書上找一下或
→ jack7775kimo: google，應該不是太難證的定理。
不叫 Darboux 定理, Darboux 定理是講別的.

看起來好證, 但不太好證耶.
※ 編輯: alfadick (36.227.241.1), 09/03/2016 00:09:29
→ arthurduh1  : |S(f,P,T)-∫f dx|<ε 相當於證 |U(f,P)-∫f dx|<ε
→ arthurduh1  : 以及 |L(f,P)-∫f dx|<ε  因此下 implies 上是容易
→ arthurduh1  : 的    另一個方向則是考慮 partitions 的「細分」
→ arthurduh1  : 會使上和變小、下和變大
→ arthurduh1  : 不過沒那麼直接，要做些小手術，你可以試著想想
推 znmkhxrw    : 你要的在Apostol--2ed--page 174.--Ex7.4有
→ znmkhxrw    : 想不到可以看
→ jack7775kimo: 抱歉，的確記錯了。另外上到下:∫f存在性應該也要
→ jack7775kimo: 說明一下，這大概是跟樓上推的那邊一個小小不同的
推 yusd24      : 印象中 Zygmund 的實分析書上有證明