推 jjsakurai : 謝謝 對於沒有規率的ai 證明可能再稍微複雜謝 09/03 17:53
→ jjsakurai : 我更想知道這類矩陣有個名字嗎？ 09/03 17:54
推 jjsakurai : 那個非零的本徵值是sum_i a_i 09/03 17:58
※ 引述《jjsakurai (Big Time)》之銘言：
: 想請教一下有人知道這樣的矩陣嗎？
: 設矩陣元素 [A]_ij = (a_i*a_j)^1/2
: a_i為實數
: dimension沒有限制
: 這個矩陣從我的了解好像只有一個非0的本徵值
寫寫看不就知道了嗎?
對了 必須得是方陣
An=[aij]nxn, aij=sqrt(ai*aj)
1 sqrt(2) sqrt(3) sqrt(4) ... sqrt(n)
sqrt(2) 2 sqrt(6) sqrt(8) ... sqrt(2n)
sqrt(3) sqrt(6) 3 sqrt(12) ... sqrt(3n)
=[sqrt(4) sqrt(8) sqrt(12) 4 ... sqrt(4n)]
.
.
.
sqrt(n) sqrt(2n) sqrt(3n) sqrt(4n) ... n
當n=2時
1 sqrt(2)
A=[ ]
sqrt(2) 2
(A-λI)x=0
det(A-λI)=0
λ^2-3λ=0
λ=0, 3
當n=3時
1 sqrt(2) sqrt(3)
A=[sqrt(2) 2 sqrt(6)]
sqrt(3) sqrt(6) 3
(A-λI)x=0
det(A-λI)=0
λ^3-6λ^2=0
λ=0, 0, 6
當n=4時
1 sqrt(2) sqrt(3) sqrt(4)
sqrt(2) 2 sqrt(6) sqrt(8)
A=[ ]
sqrt(3) sqrt(6) 3 sqrt(12)
sqrt(4) sqrt(8) sqrt(12) 4
(A-λI)x=0
det(A-λI)=0
λ^4-10λ^3=0
λ=0, 0, 0, 10
解eigenvalueλ的方程式時會發現除了最高次和次高次項以外的項係數均為0
故可以推定對於每一個自然數N
eigenvalueλn=0, 0, 0, ...(n-1個), n*(n+1)/2
是的 只有一個n*(n+1)/2的本徵根
以上
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 220.129.114.241
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1472884211.A.CAF.html