Re: [代數] 迷向子群(isotropy subgroup)的問題

[Desperato (Farewell)]

※ 引述《nobrother (nono)》之銘言：
: 書上習題
: 令H = {z∈C:z=x+yi , x,y∈R , y > 0}
: 是複平面的上半平面.
: SL_2(Z)可以看成作用於H的變換群,方法如下:
:         az+b
: g*z = --------
:         cz+d
: 其中,g=[a b] ∈SL_2(Z)
:        [c d]
: 試求SL_2(Z)在z=2i的迷向子群(isotropy subgroup)


(以下都不重要)

(以下用stabilizer G_z 代替迷向子群)

昨天算一算答案就只是正負I而已
覺得是因為2i位置不好，可能有一些 z 的stablilzer不會這麼trivial
就開始解比較一般的情況
後來發現，前幾步驟都可以用 G = SL_2(R) 代替
整理一下之後是以下的結果

G 的天然條件 ad - bc = 1
                        _
                (az+b)(cz+d)             (ax+b)(-cy)+(ay)(cx+d)       y
g*z = z  => z = ------------, 取虛部 y = ---------------------- = --------
                  |cz+d|^2                      |cz+d|^2          |cz+d|^2

(上式就是G作用在H上是closed的原因)  因此 |cz+d|^2 = 1
                            _     _
令 cz+d = u, 則 |u|^2 = 1, cz+d = u

     acz+bc       bc-ad         _            _                  a+d
cz = ------ = a + ----- = a - (cz+d)  => u + u = a + d, Re{u} = ---
      cz+d        cz+d                                           2

c = 0, d^2 = 1, ad = 1, b = 0，所以最後 g = 正負I
c!= 0, cx+d = Re{u}, x = (a-d) / 2c

現在對於任何滿足 |u|^2 = 1 的 u

c =  Im{u} / y,  d = u - cz
                                              _
a = 2Re{u} - d,  b = z(cz+d)-az = (u-a)z = (d-u)z = -c|z|^2
                                (後面這堆等於，是之後算 P 用的)

因此給定任何 u ，會對應到一個 g(u) = [a b] ，滿足 g(u) in G_z
                                     [c d]
                                            _
g(u)^2 = (a+d) g(u) - I,  特徵值正好就是 u, u

(在複數中) g(u) = P D_u P^(-1)   (g(u)本身是實數矩陣)

其中 D_u = [u _] ,  P = [z  |z|^2] , 特別 P 是定值和 u 無關
           [  u]        [1    z  ]

所以 g(u) g(v) = g(uv)

g : S_1 -----> G_z 是 isomorphism (inj, surj, homo)

S_1 是複數平面上的單位圓，乘法是一般複數乘法



現在要回到 G' = SL_2(Z) 裡頭，確認哪些 z 的 stabilizer 不只是正負I

               |a+d|
首先 |Re{u}| = |---| <= 1, 所以 Re{u} =   0,  +- 1/2, +-1
               | 2 |

u = +-1, +-i, +-w, +-w^2        Im{u} = +-1, +-√3/2,   0

    w = (-1/2) + (√3/2)i

trivial的情況為Im{u} = 0, 此時 c = 0

c = Im{u} / y 的限制是整數，Im{u} 不可能同時取到 1 和 √3/2


(1) 希望取到 u = +-i 的情況，Im{u} = +-1, a + d = 0

這時候 y = Im{u}/c = 1/n, n in Z>0
       x = a/c = +-a/|c|
       -bc = -a(-a)+1 = a^2 + 1

所以取 m in Z, n in Z>0, n | (m^2+1)

此時 z = (1/n) (m + i),  g = [ m  -(m^2+1)/n ],  G'_z =〈g〉~= Z_4
                             [ n      -m     ]


(2) 希望取到 u = +-w, +-w^2 的情況，Im{u} = +-√3/2, a + d = +-1

這時候 y = Im{u}/c = (√3/2) /n, n in Z>0
       x = (2a+-1)/2c = +- (a+-1/2) /|c|
       -bc = -a(+-1-a) = a^2 +-a + 1

取 m in Z, n in Z>0, n | m^2 + m + 1

z = (1/n) (m-w^2), g = [m+1 -(m^2+m+1)/n]
                       [ n      -m      ]

或 m in Z, n in Z>0, n | m^2 - m + 1

z = (1/n) (m + w), g'= [-m+1 (m^2-m+1)/n]
                       [ -n      m      ]

G'_z =〈g〉~= Z_6


(3) 其它情況，G'_z =〈-I〉~= Z_2


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原本想要弄 G'' = SL_2(C) 的情況
可是分母有0就不會算了，而且H會先變大成全複數平面C

話說回來，如果對這方面有興趣的話，應該要參考哪方面的書呢?
個人主要是對代數部分有興趣，當然也不排斥複數領域
手上那本代數就都是代數，很少講到複數的事情


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嗯嗯ow o

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推 nobrother   :  http://i.imgur.com/kfi7Y64.jpg
→ nobrother   :  http://i.imgur.com/670VDNR.jpg
推 nobrother   : 這是完整題目，我對軌道空間那邊也不太了解，知道他
→ nobrother   : 的定義，但不知道為什麼要定義
→ Desperato   : 軌道空間 簡單來說 就是有幾個軌道嘛...
→ Desperato   : 證明方法的話我猜 軌道空間任一點z'
→ Desperato   : 不對應該是 H中任一點z
→ Desperato   : 存在唯一一點z'在軌道空間中 使得g*z = z'
→ Desperato   : 好吧 http://goo.gl/dFUbb1
→ Desperato   : 做的各種快啊XDDD
推 nobrother   : 哇!謝啦