Re: [中學] 蠻簡單的問題，但要怎麼解釋

[alfadick (悟道修行者)]

※ 引述《zx153w (oWWWWWWWWWWWo)》之銘言：
: 請問怎麼跟國中生解釋
: 0.9999循環會等於1
: 比較簡單明瞭的方式
: 讓他們可以容易接受


第一個問題是要先反問 什麼是 0.99999.. 循環

而不是先問 0.9循環等不等於1, 希望你懂我意思.


那什麼是0.999..循環?

是 0.9+0.09+0.009+0.0009+...  加無限個數

那什麼是加無限個數? 答：不知道，從來沒教過，從來沒談過。

(加法一次只能加兩個數, 一次只能加兩個, 事實上完全沒有加無限個這種事)

這是第一個要釐清的地方。




就算你或有學生認為可以這樣加(真正答案是不行啦),

那麼這無限個東西加起來的「結果」會是「一個數字嗎」？

一直一直加下去是一個"動態"的動作 結果最後居然莫名其妙會形成一個數字 這太見鬼了

(你可以仔細感受一下 我所謂用"動態"來對比"數字"是什麼意思)

如果有學生還是說：「會！」 那就質疑他一下

難道同樣的結構, 他會覺得好比 1+2+3+4+...加出來會是「一個數字」嗎?

他大概會說後者不會。但這就怪了，為什麼他會認為前者會，而後者不會？


所以總而言之的結論就是,

0.9+0.09+0.009+0.0009+... 沒有什麼無限多個數字加起來這種事情

更沒有什麼這無限多個東西還真的可以加、加出來後結果是什麼什麼數字這種事情，

就是沒有、沒有、沒有！無論你數學念到高中還是念到大學高等微積分都是一樣。




所以到底怎麼看待0.9+0.09+0.009+0.0009+...的?

答案就是, 這沒定義. 既然沒定義, 數學家就有定義他的空間,



所以他真正的定義是來自於無窮級數, 對無窮數列 a1,a2,a3,a4,...

「如果」它前n項的和所形成的那個數列 最後會收斂到某個實數L,

就稱a1+a2+a3+...=L (只是個講法而已)

否則就稱 a1+a2+a3+... 為不收斂(不可以寫他 = 什麼什麼)



數列0.9,0.09,0.009,... 可以證明它的前n項的和所形成的數列會收斂到1

所以記為 0.9+0.09+0.009+0.0009+.... = 1

這是根據我們的定義所得出的結果。

在給出這個定義之前，0.9+0.09+0.009+0.0009+...這個符號是沒有任何意義的

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.45.70.159
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推 arthurduh1  : 因為不能加，所以不要問「會不會是數字」這問題
→ arthurduh1  : 因為定義好後，它就真的是個數字
→ arthurduh1  : 前文的10x的方法也是缺少定義這個步驟
→ arthurduh1  : 如果都能接受樓下那篇的說法，10x也不算荒謬了
→ alfadick    : 蠻多高中參考書都用10x-x=9.999..-0.99..這種手法
→ alfadick    : 解題目. (無窮循環小數化為分數的題目)
→ alfadick    : 太恐怖了.
→ arthurduh1  : 不只這個問題啊，高中很多問題都是假設存在性去做
→ arthurduh1  : 就很像非純數的人會只應用結果，倒不覺得這恐怖
推 Desperato   : 標準回答 沒先定義0.999...本身 還真不會解釋
※ 編輯: alfadick (114.45.70.159), 09/09/2016 01:12:28
推 arthurduh1  : 1+2+3+... 學生可能會說是無窮大
→ arthurduh1  : 1+(-1)+1+(-1)+... 學生可能會說是因為有負的
→ arthurduh1  : 我覺得是引進時鐘算術說明不能加無窮項
→ arthurduh1  : 然後說明在實數上我們可以允許某類的無窮項加法
→ arthurduh1  : 當然這都奠基在學生有興趣。說實在的，就算讀純數
→ arthurduh1  : 也沒多少人敢聲稱自己從最底端自己建構起
→ arthurduh1  : 甚至直接引用結果也是常見的
推 ddxu2       : 我覺得只要加一句：「假如它存在的話」，就可以用放
→ ddxu2       : 大幾倍再減去的方式算了，不管是循環小數或無窮等比
→ ddxu2       : 級數，在高中時應該都是用這樣的方式算出答案。
→ ddxu2       : 然後可以舉一些同樣是無窮級數，但實際上不存在(不
→ ddxu2       : 收斂)的例子。
→ ddxu2       : 那孩子可能會問：「要怎麼判斷存不存在？」這是大學
→ ddxu2       : 數學系的事情。
→ ddxu2       : 而且常見的式子是否存在，幾乎都很吻合直覺，國高中
→ ddxu2       : 先用直覺來理解一些數學問題會比較好吧，畢竟數學很
→ ddxu2       : 多也是先有直覺，後來才有嚴謹的定義。
推 ttt95217    : 直接跟小朋友說:讀數學系賺不了錢 快去寫考卷!
推 antry7623   : 樓上那種話，就算是玩笑話，聽起來也是很刺耳