Re: [中學] 蠻簡單的問題，但要怎麼解釋

[olda (olda)]

我想排除法會是一個好方法。

如果0.9999999...非得等於一個數的話，那是多少？


我們就假設那個數字就叫 x。

首先，任何一個比1大的數都不會是 x，我想這部分學生是好理解的，

因為它連1都超越不了，因此我們排除 x>1。


接著，x也不可能是小於1的數。這裡要對學生解釋就要費點心思了，

因為任何一個比1小的數，不管多靠近1，永遠都和1有距離(可以用顯微鏡看，

好吧！也許顯微鏡還不夠)，因此0.99999....這個東東總會超過你宣稱的

任何一個比一小的數，因此我們排除 x<1。


既然 x 不會是大於1也不會小於1，那它就只能等於1了。


事實上上面的整個思考流程已經有初步高微的概念，只不過還算口語化。更重要的是，

如果我是第一個想這個問題的數學家，那麼應該也是類似這樣的方法，因為在還不知道

答案的情況下，為了縮減答案範圍，排除法通常會是最好選擇。

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推 alfadick    : 這是回答0.9999..=1的經典回答Version 1
→ alfadick    : (在或許承認0.999..會是個"數字"的前提下的討論)
→ alfadick    : 我回的那篇是關於這問題的經典回答 Version 2
→ alfadick    : 就是告訴大家：根本沒什麼0.99999..這種東西
→ alfadick    : 除非你把它用無窮級數掛勾,理解成0.9,0.09,0.009
→ alfadick    : 一路下去的無窮級數
→ alfadick    : 那這樣也是partial sum收斂到1(但永遠不會真的是1)
→ alfadick    : 但會跟1無限靠近, 於是就定義成那個數列的極限
→ alfadick    : 也就是那個無窮級數的"值"了
→ arthurduh1  : 為啥你要說沒這東西XDD  就只是個表示極限的記號
→ alfadick    : 中文問題 ㄎㄎ 在學生的原本腦子裡 沒這東西
→ arthurduh1  : 不能寫 0.99... 的話，教科書也都不能有 3.14... 了
→ alfadick    : 不應該有這東西. 除非定義了級數是什麼 用級數來界
→ alfadick    : 定 才開始有xd
→ alfadick    : 懂你義思, 但fu好像有點不一樣.
→ alfadick    : 不知道xD
推 kkagt       : 我覺得這東西的爭議點在於，小朋友們腦中已經有
→ kkagt       : 有限小數、無窮循環小數、無窮不循環小數這種概念了
→ kkagt       : 所以你如果說0.9999..這東西沒定義就是跟課本做對@@
→ Desperato   : 嚴格來說不是沒定義 而是沒有好好搞清楚過
→ Desperato   : 也不是這樣說...應該說 為了好好運算和說明
推 jetzake     : 講難聽點 這學生不學純數學 也可能一輩子不用搞清楚
→ Desperato   : 數學家會盡可能用最清楚(但不一定好懂)的定義
→ jetzake     : 真的上到講台才知道數學系和其他人的鴻溝真是不小
→ Desperato   : 這是教學理念的問題 我們當然都可以說未來用不到不
→ jetzake     : 你在那扯半天 學生可能只想要你講個結論他好背起來
→ alfadick    : 其實不要小看數學加追求的這些嚴謹性
→ alfadick    : 這也是為了之後學生遇到之後的數理問題 有清晰
→ alfadick    : 的思考學習方式
→ alfadick    : 教數學 事實上就是在教學生怎麼思考面對未來的數理
→ jetzake     : 不想動腦也不能說他怎麼不對 畢竟自己也當過學生
→ Desperato   : 如果只是想要結論的學生 從一開始就判斷不會考
→ alfadick    : 問題啦...
→ Desperato   : 就不會問這種問題了 問了就要有被轟炸的準備
→ jetzake     : 應付考試拿到成積和以後自己的興趣所在當然是兩回事
→ olda        : 發個文壓力真大，幸好用了"非得"這字眼，讓自己有
→ olda        : 台階下XD
推 Desperato   : 你來到的是追求嚴謹的數學板啊ow o