Re: [代數] 秩為100以內的單群

[kerwinhui (kezza)]

※ 引述《nobrother (nono)》之銘言：
: 除了Z_p之外,只有A_5
: 書上在證明的時候
: 是用質數的不同型式來分組(如pq,p^2q...)
: 證明|G|=pqr(p,q,r為相異質數)時
: 書上只寫,p<q<r
: 則r-Sylow子群是正則子群
: 請問這是為什麼??
: 我只能推出|G|=pqr
: 利用元素個數
: 可得必有一個Sylow子群是正則子群

如果你知道什麼是特徵子群 characteristic subgroup

(1) |H|=pq, p<q primes → |Syl_q(H)|=1 (簡單)

(2) G has a normal Sylow subgroup (你已經證明了)
(2A) |Syl_r(G)|=1 完成
(2B) Syl_p(G)={P} (or Syl_q(G)={Q}, swap p and q)
     Consider quotient G/P.
     From (1) on G/P, Syl_r(G/P)={R'}.
     Lift normal subgroup R' of G/P back to normal subgroup M of G.
     From (1) on M, Syl_r(M)={R}.
     So R char M, M normal in G.
     So R char G (R is a Sylow r, so normal implies char).   Q.E.D.

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『我思故我在』怎樣從法文變成拉丁文的：
je pense, donc je suis --- René Descartes, Discours de la Méthode (1637)
ego sum, ego existo    --- ____, Meditationes de Prima Philosophia (1641)
ego cogito, ergo sum   --- ____, Principia Philosophiae (1644)

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推 nobrother   : 我不知道特徵子群QQ,不過還是相當感謝,立馬GOOGLE
如果不用特徵子群，可以用另一種方法來證明 R 是正則。

由 Sylow II 可知其他 Sylow-r 都是 R 的共軛
但 M 是 G 的正則子群，所以這些 Sylow-r 也一定是在 M 中
而 M 只有唯一一個 r-子群 R

同理可證 |G|=p_1p_2...p_k, p_1>p_2>...>p_k primes 有正則 Sylow-p_1 子群
(也有正則p_1p_2, p_1p_2p_3, ... 子群)
※ 編輯: kerwinhui (140.112.101.8), 09/10/2016 18:06:15
推 nobrother   : 不好意思,我看不懂M是怎麼來的?quotient的前提不是
→ nobrother   : 要是normal嗎?
→ Desperato   : R'={r_i+P} in G/P, M=cup{r_i+P} in G
→ Desperato   : 然後用最後一條isom. thm
推 nobrother   : 哈哈哈我突然看懂了,感恩
推 nobrother   : 我又有一個小問題,Syl_p(G)={P},那個P有沒有"{}"的
→ nobrother   : 差別是甚麼?
→ Desperato   : Syl_p(G)是集合的集合
→ nobrother   : 喔喔我以為是G的某一個p-Sylow子群