Re: [代數] 群的問題

[XII (Mathkid)]

※ 引述《nobrother (nono)》之銘言：
: 設H是有限群G的子群,且H ⊆ G 但 H ≠ G,
: 試證:G≠ ∪ xHx^-1
:         x∈G
: 我的想法是H跟xHx^-1,∀x∈G,同構
: 而|G|>|H|,所以不同構
: 所以G中一定有元素能做到 ∪ xHx^-1
:                        x∈G
: 中所有元素都做不到的事情
: (抱歉,這句話相當奇怪)
: e.g.
: G=S_4 , H=<(123)>
: ∀a∈xHx^-1
: a^3=1
: G中有(1234)^3≠1
: 但我不知道要怎麼說明
: 還是這個想法其實是錯的???
: 我最後是用元素個數證出來的

Assume [G:H]=k>1.

Let G act on X:={gHg^{-1}: g in G} by conjugation.

Then |X|=[G:N(H)]≦k, where N(H) is the normalizer of H.

So |∪_{g in G} gHg^{-1}|≦(|H|-1)*|X|+1≦(|H|-1)*k+1=|G|-k+1<|G|

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推 Desperato   : 推推
推 nobrother   : 感恩
→ nobrother   : 這個跟我後來想到的一樣,想說如果用同構的角度切入
→ wohtp       : 問題是 xHx^-1 根本不是群，你要怎麼談同構
→ nobrother   : w大是說他們的聯集不是群嗎?我也有想說用這樣說明
→ nobrother   : 不等於G
→ nobrother   : 我這邊是想說,用每個xHx^-1跟G比較
→ wohtp       : 咦是群啊，我剛剛說話的時候腦袋在想什麼...
→ wohtp       : 對不起
→ wohtp       : 你要證明不等於，其實只要舉一個反例就打死了
→ wohtp       : Z4就好
→ nobrother   : 甚麼意思?
→ wohtp       : 設 G = Z4, H = Z2
→ wohtp       : 因為Z4是Abelian，所以對任何x直接都有
→ wohtp       : xHx^-1 = x x^-1 H = H
→ wohtp       : 聯集到死都不會是G
→ nobrother   : H normal in G,xHx^-1=H=/=G
→ nobrother   : 咦w大是說這題用這個例子證明嗎?這樣不行吧
→ Desperato   : 這題不是證等號於是錯的 而是證明不等號是對的