[代數] 群的問題

[nobrother (nono)]

Show that any group in which every a

satisfies a^2=1 is ablian.(這部分我做出來了)

What if a^3 for every a ?

我的想法是(先假設G是有限群)

根據Cayley's Thm:若G是有限群,

則G必與某一置換群同構.

令G是一置換群

∀a,b ∈G a,b=/=1

a,b為(k1 k2 k3)(k4 k5 k6)...(kn kn+1 kn+2)的形式
(書上的寫法是:不相交輪換圈分解式)

否則a^3=/=1

不失一般性,令a=(k1 k2 k3),b=(h1 h2 h3)

若{k1 k2 k3}∩{h1 h2 h3}=/=空集合

ab會變成(x1 x2)(y1 y2)或(z1 z2 z3 z4 z5)的形式

=>(ab)^3=/=1

所以{k1 k2 k3}∩{h1 h2 h3}=空集合

所以ab=ba,

G is abelian

我還想說這甚至可以推廣到a^p=1,p primes

請問這樣的推論過程正確嗎?

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→ Desperato   : 我還沒找到問題在哪 不過有反例
→ Desperato   : 找 heisenburg group modulo p
→ arthurduh1  : 「ab會變成...的形式」 這段錯了
→ arthurduh1  : 因為結果不只跟你提到的兩個 cycles 有關
→ nobrother   : thanks