Re: [代數] 群的問題

[Desperato (Farewell)]

※ 引述《nobrother (nono)》之銘言：
: Show that any group in which every a
: satisfies a^2=1 is ablian.(這部分我做出來了)
: What if a^3 for every a ?
: 我的想法是(先假設G是有限群)
: 根據Cayley's Thm:若G是有限群,
: 則G必與某一置換群同構.
: 令G是一置換群
: ∀a,b ∈G a,b=/=1
: a,b為(k1 k2 k3)(k4 k5 k6)...(kn kn+1 kn+2)的形式
: (書上的寫法是:不相交輪換圈分解式)
: 否則a^3=/=1
: 不失一般性,令a=(k1 k2 k3),b=(h1 h2 h3)
: 若{k1 k2 k3}∩{h1 h2 h3}=/=空集合
: ab會變成(x1 x2)(y1 y2)或(z1 z2 z3 z4 z5)的形式
: =>(ab)^3=/=1
: 所以{k1 k2 k3}∩{h1 h2 h3}=空集合
: 所以ab=ba,
: G is abelian
: 我還想說這甚至可以推廣到a^p=1,p primes
: 請問這樣的推論過程正確嗎?


OK, 我知道證明的問題在哪裡了
不過機會難得(?)，就來用Heisenberg Group來爆一次

                   [ 1 a b ] |
H_p = { h(a,b,c) = [ 0 1 c ] | a, b, c in Z_p }, p prime
                   [ 0 1 1 ] |

令 X = h(1,0,0),  Y = h(0,1,0),  Z = h(0,0,1)

則 h(a,b,c) = Z^c X^a Y^b, 因此 |H_p| = p^3

其中乘法 h(a1,b1,c1) h(a2,b2,c2) = h(a1+a2, b1+b2+a1c2, c1+c2)

特別是 h(a,b,c)^k = h(ka, kb+(k(k-1)/2)ac, kc)

因此 h(a,b,c)^p = h(0,0,0) = Id ，在 H_p 裡的所有非1元素order都是p

另外也能看出 XY = YX, YZ = ZY, 但是 XZ = ZXY ，所以 H_p 是不交換群


現在用三進位 <c a b> 來表示 h(a,b,c) = Z^c X^a Y^b

H_3 acts on H_3 by left mult.

這樣會產生一個 t: H_3 --> S_I, I = 以上所以三進位表示法, |I| = 27

由於 X <c a b> = <c a+1 b+c>

t(X) = (000 010 020) (001 011 021) (002 012 022)
       (100 111 122) (101 112 120) (102 110 121)
       (200 212 221) (201 210 222) (202 211 220)

     = ( 0  3  6) ( 1  4  7) ( 2  5  8)
       ( 9 13 17) (10 14 15) (11 12 16)
       (18 23 25) (19 21 26) (20 22 24)


由於 Z <c a b> = <c+1 a b>

t(Z) = (000 100 200) (001 101 201) (002 101 201)
       (010 110 210) (011 111 211) (012 112 212)
       (020 120 220) (021 121 221) (022 122 222)

     = ( 0  9 18) ( 1 10 19) ( 2 11 20)
       ( 3 12 21) ( 4 13 22) ( 5 14 23)
       ( 6 15 24) ( 7 16 25) ( 8 17 26)


則 t(Z)t(X) = ( 0 12 25) ( 1 13 26) ( 2 14 24)
              ( 3 15 19) ( 4 16 20) ( 5 17 18)
              ( 6  9 22) ( 7 10 23) ( 8 11 21)

而 t(X)t(Z) = ( 0 13 24) ( 1 14 25) ( 2 12 26)
              ( 3 16 18) ( 4 17 19) ( 5 15 20)
              ( 6 10 21) ( 7 11 22) ( 8  9 23)

顯然以上兩個東西不一樣，但order都是3


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嗯嗯ow o

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 118.167.52.22
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※ 編輯: Desperato (118.167.52.22), 09/18/2016 17:20:18
推 nobrother   : 先說謝謝,我再來慢慢看,感恩
推 nobrother   : 不好意思，三進位那邊看不太懂
→ Desperato   : 就是cayley theorem 或者說action by left mult.
→ Desperato   : 被act的set 每個元素用0～26的數字代表
→ nobrother   : 喔喔t(X)是那9個括弧的乘積,了解