Re: [機統] 悖論 無限大的桶子 跟 無限多顆球

[arthurduh1 (arthurduh1)]

※ 引述《AppleOuO (AppleOuO)》之銘言：
: 今天 在上 基礎機率課上 老師說的一個謬論(paradox)
: 並且 老師認為 謬論這詞不是一定有錯的
: 但我印象中 謬論不就是有錯 所以才叫謬論不是嗎QQ

這就要看謬論的定義是什麼了
但這是字詞上的問題
不能反過來拿它來說明這件事的對錯



: 但別跟我說 現實中沒有無限大的桶子 無限多顆的球..

然而，這真的是因為我們想把根本不可能存在的事情
想辦法用數學描述出來時
過程中出現的分歧


考慮一個稍稍不同的模型：



箱子裡面有無限多個格子，
每個格子依序編號為 1, 2, 3, ...
每顆球也是有編號，依序為 1, 2, 3, ...

第 i 個時刻把編號 10(i-1)+1 ~ 10i 的球放進編號最小的 10 個空格裡，
拿出在第 j 號格子的第 i 號球 (其實 j 必定等於 1 )
然後把編號比 j 大的格子內的球都往前遞補


詳細過程舉例：
第一個時刻把 1~10 號的球放進去，並且依序放在編號 1~10 的格子
然後拿出 1 號格子的 1 號球，後面格子的球遞補
第二個時刻把 11~20 號的球放進去，並且依序放在編號 10, 11, 12, ..., 19 的格子
然後拿出 1 號格子的 2 號球，後面格子的球遞補
第三個時刻把 21~30 號的球放進去，並且依序放在編號 19, 20, 21, ..., 28 的格子
並拿出 1 號格子的 3 號球，後面格子的球遞補


問題來了，怎麼刻劃箱子裡的狀態，進而計算球數？
有兩個看起來自然的方法

1. 對編號為 i 的球做一個隨機變數 X_i(t),
X_i(t) = 1  if 時刻 t 時，編號為 i 的球在箱內
       = 0, otherwise

2. 對編號為 i 的格子做一個隨機變數 Y_i(t),
Y_i(t) = 1, if 時刻 t 時，編號為 i 的格子內有球
       = 0, otherwise

兩個方法計算球數的方式是 E[Σ_i lim_{t→∞} X_i(t)] 以及
E[Σ_i lim_{t→∞} Y_i(t)]
然而，前者為 0，後者為無限大(或說不存在)


注意到這裡計算球數、取期望值的方式也是我們給定的，
重點是兩個都是 E[Σ_i lim_{t→∞} 某隨機變數_i] 的計算方式
算出來卻是不同的值




有人可能會堅持，算球數就一定要用求球當主體
那我們可以考慮把「格子」都當作「袋子」
最後問「幾個袋子裡有球？」
甚至還可以更對稱地，把「格子」當成另一種類的球，
球放入格子解釋為兩種類的球互相配對
這樣的話要拿哪一類的球當主體呢？


我所知道被稱為謬論的問題有很多種類型
這種是沒有說明「如何算」，可以說連題目都沒出完的那類


→ wohtp       : 極限不存在，結案
是怎樣的定義下的極限要說清楚，否則身為 {球的編號}→{0,1} 的函數
函數的 pointwise limit 是存在的


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※ 編輯: arthurduh1 (202.169.173.134), 09/22/2016 19:53:47
推 AppleOuO    : 對 抱歉 老師有說什麼 量測問題還什麼 忘記了
→ AppleOuO    : 不清楚量測理論還什麼的跟這謬論有關 所以沒提sorry
他要說的應該是 f_i: R→R 是一個 sequence of functions
且 f_i 逐點收斂到 f，則

∫f_i 不一定會收斂到 ∫f

但我要說的是，這些數學理論都是後話。
要等題目說明清楚才能繼續做下去，
然而一般這類謬論都是話說到一半，
才讓某些人覺得困惑。
當然要理解這些數學理論本身也可能造成困惑啦

推 AppleOuO    : 感謝回答 的確是在講單調那裡
→ AppleOuO    : 是剛證明完lim n->無限大P(En)=P(lim n->無限大En)
→ AppleOuO    : 後的悖論 目前我對這悖論看法就是 自己知道的還太少
→ AppleOuO    : 所以目前會先耽擱 等之後學越多東西之後再回來 這樣
這個悖論主要想表達的數學就是 逐點收斂 和 積分 不一定可交換
而我這篇提的東西主要是這個數學理論之外的事情啦

平平都是∫f，也就是∫lim f_i 的算法，答案也可以截然不同

推 Desperato   : 推
※ 編輯: arthurduh1 (202.169.173.134), 09/22/2016 23:40:08