Re: [機統] 悖論 無限大的桶子 跟 無限多顆球

[ERT312 (312)]

有一種想法是
令 f:N→N
f(n)=10n-n
用f(n)代表第n步驟後袋中的球數
但是 n → ∞ 時的 f(n) 是否能代表12點時袋中的球數??
這一個大問題
如果不行 自然不能就這樣取極限
如果可以 也要能說出理由

就算說無限大不能存在?
(物理上可能真的不能存在
但數學上的無限大從Cantor之後已經能夠被駕馭)
那令g:(0,1/2]→R
g(x)=5/x - 1/(2x)
用 x 代表距離12點的時間
g(x)代表袋中球數
當然這個g(x)是原問題的擴展
它的定義域是連續的
但是同樣的問題
是否能用 x→0 時的 g(x) 代表12點時代中的球數?

12點一定會到來
而根據這個假想實驗
12點時依定會經過無限多個次的存取

袋中會剩下那些球
正確的看法應該是考慮每個球有沒有被取到
(原po的問題沒有提到隨機取球
所以還不用考慮到機率)
Ross的書中有這個例題包含隨機取球版
正確的想法請看Ross的書吧

這問題跟自然數集與正偶數集是一樣多的本質差不多
這在上古時代可能會被認為是悖論
但是以前的悖論現在來看可能是對的

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推 AppleOuO    : 上課有提到機率
推 AppleOuO    : 有兩種 一種是原本用說的方式講說 12點 球都被取走
→ AppleOuO    : 了 第二種是機率方式 然後結論是沒被取走的機率為0
→ AppleOuO    : 或者說被取走機率為1 但好像又說什麼1不代表一定發
→ AppleOuO    : 生
推 AppleOuO    : 老師講這兩種謬論 主要是為了 讓學生能更有動機去學
→ AppleOuO    : 所以 目前可能就先耽擱了 原本以為可能可以輕鬆解釋
→ AppleOuO    : 現在好像知道 可能需要更多一點數學知識才能理解
推 AppleOuO    : 上面的好像 多打的 sorry
→ AppleOuO    : 補充解釋一下 老師有說兩種不同方式 所說的結論不同
→ AppleOuO    : 一個是12點 球都被取走了 一個是球被取走的機率為1
→ wohtp       : 我所謂的「沒有無限大」應該更精確說成：
→ wohtp       : 「沒有一個數字是無限大」
→ wohtp       : 所以你不能拿一個本來只是定義在整數上面的函數，
→ wohtp       : 然後就把無限大當一個整數說代進去要有結果
推 wohtp       : 是的，你當然可以多加進一個叫做無限大的符號
→ wohtp       : 但是這符號的意義來自你自己的擴充定義，本來真的
→ wohtp       : 是沒有的