Re: [幾何] 三等分角

[Vulpix (Sebastian)]

推完漂亮的作法，來貢獻一個暴力的作法

首先是這類題目實在太常見了

每次看到都在想說又要找一個巧妙的輔助線了

或者沒找到的話也是三角函數恆等式的迴圈

那乾脆先暴力找個公式放著吧


已知△ABC、邊AC上一點N、邊BC上一點Q

並令∠BAC = α、∠ABC = β、∠BAQ = γ、∠ABN = δ

WLOG 假設邊AB長1

則由正弦定理可得

        線段AN = sinδ / sin(α+δ)

        線段AQ = sinβ / sin(β+γ)

建立複數坐標，使 A = 0、B = 1、C 位於上半平面

則 N = sinδ / sin(α+δ) * exp(iα)

   Q = sinβ / sin(β+γ) * exp(iγ)

計算 Q-N 的幅角正切值，

得 (cotα+cotδ-cotβ-cotγ)/(cotγcotδ-cotαcotβ)

故 ∠BNQ = δ+arctan[(cotα+cotδ-cotβ-cotγ)/(cotγcotδ-cotαcotβ)]

只是這個公式也沒有太好用，有點遺憾

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推 Desperato   : 我心裡也是想著 有沒有一兩個想法可以簡單解決這類
→ Desperato   : 題目
→ linkismet   : 提供一個暴力作法，貼座標，由於是30 120 30 的三
→ linkismet   : 角形，可切為兩個30 60 90的特殊三角形，設定
→ linkismet   : A點座標（0,1）C點座標（根號3,0），
→ linkismet   : 分點公式得Q,N座標，向量BN和NQ，內積得cos值解之
推 Desperato   : 樓上的做法同樣會用上一堆三角函數...
→ linkismet   : 這樣做的目的是:改寫成座標後，向量，三角函數，
→ linkismet   : 分點/距離/面積公式都可以使用，也就是幾何問題
→ linkismet   : 代數化，某些巧妙的古典幾何就可直接硬爆，某些
→ linkismet   : 特殊角可能會特別好解，40度這類的角也可以數值
→ linkismet   : 硬做。這題座標化後，你用餘弦定理也可以求
→ linkismet   : 當然這比較像是求近似解，而非求解析解的作法