Re: [幾何] 三等分角

[XII (Mathkid)]

※ 引述《FAlin (人間失格)》之銘言：
: ※ 引述《tzhau (生命中無法承受之輕)》之銘言：
: : http://imgur.com/v9C2Mav
: : 如圖，設角A與角B分別三等分交BC與AC於P、Q、M、N
: : 其中角A為120度，角B為30度，試求角BNQ度數
: 圖http://imgur.com/a/CqvqY
: AF/AB = sin20 / sin40 = 1/2cos20
: AD/AB = sin30 / sin110 = 1/2sin70 = 1/2cos20
: 則 AF=AD
: 又 AE=AE ∠DAE=∠EAF=40度 → △ADE 全等於 △AFE
: ∠AFE=∠ADE=70度  所求: 70-∠AFB=30度

來寫個不用兩倍角公式的國中方法


                         A
                                                  D

                                   M
                                       N'

   B                P         Q                C

如圖, P,Q 在線段 BC 上, M,N 在線段 AC 上

∠BAP = ∠PAQ = ∠QAC = 40°,∠ABC = ∠ACB = 30°,

∠ABM = ∠MBN = ∠NBC = 10°

求∠BNQ = ?

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做 B 對 AQ 的對稱點 D, 則 ∠CAD = 40°且 B,M,D 共線

設 AC 與 DQ 交於 N'

Claim. BN' 平分 ∠MBC

pf. 因 BN' 平分 ∠MBC iff DP 平分 ∠BDQ iff DB:DQ = BP:PQ (*)

    ∵ ABQD 面積*2 = ABQ 面積*4

    ∴ AQ*BD = 4*(1/2)*BQ*BA*(1/2) = BA*BQ = AB*DQ

    => DB:DQ = AB:AQ = BP:PQ, 故 (*) 成立, 所以 Claim 成立

Claim => N' = N

=> ∠BNQ = ∠NBD+∠NDB = 10°+20°= 30°

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