Re: [其他] 一題工數求解

[phs (世故人情情難還...)]

※ 引述《sun30401 (Sigma)》之銘言：
: 最近解到了一題
: F(s)=1/s(s^2+s+1)
: F(t)=?
: 無法用部分分式配，何解？
: 感謝大家幫忙。

 解: 利用摺積定理 (convolution theorem):

     設 L^(-1){F(s)}=f(t), L^(-1){G(s)}=g(t), 則
                        t
     L^(-1){F(s)G(s)}= S f(x)g(t-x)dx
                        0

     取 F(s)=1/s , G(s)=1/(s^2+s+1)

     則 L^(-1){F(s)}=1 ,

        L^(-1){1/(s^2+s+1)}= L^(-1){1/[s+1/2)^2+3/4]}

                           = [2/3^(1/2)]e^(-t/2)sin[3^(1/2)t/2]

    => L^(-1){F(s)G(s)}
          t
       = S [2/3^(1/2)]e^[-(t-x)/2]sin[3^(1/2)(t-x)/2]dx , (令 t-x = y)
          0
                      t
       = [2/3^(1/2)] S e^(-y/2)sin[3^(1/2)y/2]dy
                      0
             t                                 t
     令 I = S e^(-y/2)sin[3^(1/2)y/2]dy = (-2)S sin[3^(1/2)y/2]de^(-y/2)
             0                                 0
                                         t
          = (-2){e^(-y/2)sin[3^(1/2)y/2]|
                                         0
               t
            - S e^(-y/2)[3^(1/2)/2]cos[3^(1/2)y/2]dy}
               0

          = (-2){e^(-t/2)sin[3^(1/2)t/2]
                              t
            - [3^(1/2)/2](-2)S cos[3^(1/2)y/2]de^(-y/2)}
                              0
                                                                           t
          = (-2){e^(-t/2)sin[3^(1/2)t/2] + 3^(1/2)[e^(-y/2)cos[3^(1/2)y/2]|
                                                                           0
                t
             - S e^(-y/2)[-3^(1/2)/2]sin[3^(1/2)y/2]dy]}
                0

          = (-2){e^(-t/2)sin[3^(1/2)t/2] + 3^(1/2)[e^(-t/2)cos[3^(1/2)t/2]-1

            + (3^(1/2)/2)*I]}

    => I = 3^(1/2)/2 - (1/2)e^(-t/2){sin[3^(1/2)t/2]+ 3^(1/2)cos[3^(1/2)t/2]}

     代回得

      L^(-1){F(s)G(s)}

      = 1 - e^(-t/2){sin[3^(1/2)t/2]+ 3^(1/2)cos[3^(1/2)t/2]}



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※ 編輯: phs (140.112.4.206), 09/26/2016 17:27:03
推 coolbetter33: 其實我懷疑是問F(s)=1/s(s^2+2s+1)....XD
推 sun30401    : 感謝
→ phs         : 式子看起來有點眼花@@,其實只是一直做部分積分
推 zi6ru04zpgji: 原po底下有解答了 似乎用部分分式就能解決了
→ phs         : 是啊!用部分分式也能算出來,我只是提供另一種算法