Re: [中學] 絕對值方程式

[Desperato (Farewell)]

※ 引述《starshiny (璀璨星辰)》之銘言：
:    試問滿足|a+b|+c=19且ab+|c|=97的整數解(a,b,c)共有幾組?
:    自己有嘗試著求解
:    可是怎麼算都只能求出兩組解
:    跟解答差有點多QAQQQQQ
:    懇求各位大大一起集思廣益

c <= 19, ab <= 97


a+b = +-(19-c)

ab  = 97-|c|

a, b are roots of x^2 -+ (19-c) + (97-|c|)

D = (19-c)^2 - 4(97-|c|) | = c^2 - 34c - 27, c>=0 | = k^2, k integer >= 0
                         |                        |
                         | = c^2 - 42c - 27, c <0 |

c>=0, (c-17)^2 - k^2 = (c-17-k)(c-17+k) = 289+27 = 316 = 4 * 79

                         2* 1    2*79    k=78, c-17= 80, c不合 (c <= 19)
                        -2*79   -2* 1    k=78, c-17=-80, c不合

c <0, (c-21)^2 - k^2 = (c-21-k)(c-21+k) = 441+27 = 468 = 4 *117

(c-21-k < 0)           -2*117   -2* 1    k=116, c-21=-118, c=-97
                       -2* 39   -2* 3    k= 36, c-21= -42, c=-21
                       -2* 13   -2* 9    k=  4, c-21= -22, c= -1

a, b=(1/2)( +-(19-c) +-k )


  k  |  c  | 19-c+k | 19-c-k | (a, b)
---------------------------------------------------------------------
 116 | -97 |  232   |    0   | (116, 0) (-116, 0) (0, 116) (0, -116)
---------------------------------------------------------------------
  36 | -21 |   76   |    4   | (38, 2) (-38, -2) (2, 38) (-2, -38)
---------------------------------------------------------------------
   4 |  -1 |   24   |   16   | (12, 8) (-12, -8) (8, 12) (-8, -12)


以上騙P幣ow o

其實我原本忘記c <= 19, 驗算的時候多了一組

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嗯嗯ow o

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推 LPH66       : 啊, 忘記拆 117 了所以只做出四組...
推 starshiny   : 看不太懂怎麼變成a,b are roots of x^2 這段
→ Desperato   : 根與係數的關係
推 starshiny   : 因為沒化成x^2-(a+b)x+ab=0形式一下子沒反應過來XD
推 LPH66       : 其實判別式本質上就是 (a-b)^2
→ LPH66       : 所以直接算這東西也會變成同一個式子