[線代]B = A*A'，如何保證 B 是 nonsingular

[skyconquer (梅郭曲)]

我有朋友問了一個問題：

我有個長方型的矩陣A，B = A * A'，然後這個方陣B是singular無法取inverse。我想問

是矩陣A的什麼特性導致這個結果的？

(A'為Transpose)





我的解法是：

假設 A 為一個 m by n 的矩陣，則 B = AA' 為一個 m by m 的square matrix

對任一大小為 m by m 的square matrix要有inverse 存在，

其 Rank必須等於 m，也就是 Rank(B) = m

我們又知道， Rank(B) = Rank(AA') <= Rank(A) = Rank(A')；

也就是說，m <= Rank(A)，B矩陣的inverse才有機會存在。

對於一個m by n 的 A矩陣來說，Rank(A)最大只能是m 跟 n 比較小的那一個。

如果m>n，則 Rank(A)<= n < m，不可能成立；

如果m<n，則 Rank(A) <= m，有機會成立。

所以對 B = AA'，A為一個 m by n 的矩陣，在m<n的狀態下(比方說: A有2個rows,3個

columns)且 Rank(A) = m 的情況下，

B 矩陣的inverse有機會存在。



問題：

我的解法只能說：在 m<n 且 Rank(A)=m 的情況下，B 的inverse 有機會存在，但不保證

Rank(B)=m 啊!!

有沒有大大能指正我想法中的錯誤或不足的地方? 主要我想知道矩陣 A 要滿足怎樣的條

件才能保證  Rank(B) = m ?

謝謝


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→ XII         : rank(AA^t)=rank(A)
→ XII         : over R
推 Vulpix      : 你只簡單估算了rank，更進一步計算kernal就會得到樓
→ Vulpix      : 上的結果。結論就是A只要full-rank就能保證B也是。

感謝兩位大大，關鍵字跟方向get!! 我再想一下接下來怎做。
※ 編輯: skyconquer (27.147.4.108), 09/30/2016 17:11:53
推 njru81l     : QR分解可以作嗎？