Re: [中學] 升高中考題

[Desperato (Farewell)]

※ 引述《farewell324 ()》之銘言：
: 幾題國中競賽題、升高中考題百思不得其解想求解

太多囉 下次可以分幾天一兩題丟一次


: 1.解方程式:x^3+(2根號3)x^2+3x+(根號3)+1=0
:   (94年雲嘉區數學競賽第二試)

x (x + √3))^2 + √3 + 1 = 0
這邊我是用猜的... x = -1 - √3 看來是一解

分解成 (x + 1 + √3) (x^2 + (√3-1)x + 1) = 0
所以答案是 x = -1-√3 or (1/2) (1-√3 +- (12)^(1/4) i )
後面兩個是虛根 看題目有沒有要求要實根


: 2.n是整數，將n^5+25n^2-n+25分解成兩質數的乘積，兩質數可以相同或相異，
: 　共有哪幾種可能？
: 　(94年雲嘉區數學競賽第二試)

f(n) = n(n^4-1) + 25(n^2+1) = (n^2 + 1) (n^3 - n + 25)

(a) n^2 + 1 = 1
    n = 0, f(n) = 5 * 5

(b) n^3 - n + 25 = 1  (-1無整數解)
    n = -3, f(n) = 2 * 5

(c) n^2 + 1 = p            p 質數
    (n-1)n(n+1) + 25 = q,  q 質數

    注意到 n = 5k, 5k+1, 5k-1 時 n^3 - n + 25 是 5的倍數
           n =     5k+2, 5k-2 時 n^2 + 1      是 5的倍數

    因此 n^2 + 1 = 5 或 (n-1)n(n+1) + 25 = +- 5
    前者 n = +-2, f(2) = 5 * 31, f(-2) = 5 * 19
    後者似乎是無解

所以一共有 f(0) = 5 * 5 , f(-3) = 2 * 5
           f(2) = 5 * 31, f(-2) = 5 * 19 四種可能。感謝k大指正。


: 3.若f(x)=3x^3-2x^2+x+1、g(x)=2x^3+4x^2+2x-6，請問有多少個相異實數α，使得
: 　f(α)=3、g(α)=2
:   (103年南一中數理資優班)

(x-α) 是 f(x)-3 與 g(x)-2 的公因式
這兩式只有一個公因式 x - 1, 所以 α=1 是唯一可能


: 4.設f(x)為實係數二次多項式，若f(x)=0有一根為2且f(f(x))=0恰有一實根為4，求f(0)
:   (103年南一中數理資優班)

f(x) 有實根 2, k

y = f(x), y是頂點則 x 一實根解, 其他y要不是x兩實根解 就是x無解

因此 f(y) = 0 若只有一實根解x, y必定是頂點值

也就是說 x = 4 時 y 是頂點，根據對稱另一根 k = 6

由於 f(y) = 0, 得到頂點值 y = 2 or 6, 都是正數, 因此 f(x) 開口朝下

因為只有一實根，所以兩個 y = f(x) 中有一個要無解，因此 y 只能是 2

則 f(x) = (-1/2)(x-2)(x-6), f(0) = -6


: 5.用紅黃藍三種顏色的顏料塗一正立方體的12個稜邊，而且共頂點的任兩稜邊不同色，
: 　則可圖出___種不同樣式的正方形。(旋轉或翻轉後有相同上色結果視為同一種)
:   (103年斗六高中數理資優班)

每個頂點都會接到正好一條紅色的邊，每個邊都會接到兩個頂點
因此紅色的邊共有 8 / 2 = 4 條，另外兩個顏色也是

現在假設有一條邊是紅色，扣掉4條和它相接的邊後，會剩下7條邊
攤平之後會長的剛好像行人紅綠燈的7段顯示器
這7條線要塞三條同色邊進去 一共有兩種情況
也就是說，所有同色邊要就全部平行(4)，要就兩組平行線互相垂直(2)(2)

正立方體中共有三組平行線(4)(4)(4)

a. 紅(4)黃(4)藍(4)           只有1種情況
b. 紅(2)(2)   考慮其中一對(2)，讓黃填入另一對平行的(2)
              會發現黃色沒辦法填入剩下的(4)，只能補上另一個剩的(2)
   因此有黃(2)(2)，藍(4)
   固定藍(4)檢查會發現只有1種情況 考慮顏色互換 x3

所以一共有4種情況。感謝V大指正。



: 6. AB是半圓O的直徑，AC、AD都是弦，角CAD＝角DAB，要證明AC+AB<2AD
:   (101年南一中科學班)
: 不好意思以上幾題要請教大家，謝謝！

如果用三角函數的話，設角CAD = x
AC + AB = 2R(1 + cos2x) = 2R(2(cosx)^2) < 2R(2 cosx) = 2AD

根據這條式子，不等式的本質是 cosx < 1
就有了以下看起來沒有三角函數的做法

作CB與AD交於E，作DB，作AD往外延伸和B點的切線交於F
則 角CAD = 角DAB = 角EBD = 角DBF = x
   角ACD = 角ADB = 90度
可得到 EDB 和 FDB 是全等三角形，ED = DF

因此 AC + AB < AE + AF (直角三角形鄰邊 < 斜邊)
             = 2 AD    (ED = DF)




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嗯嗯ow o

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.25.105
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1476087166.A.304.html
推 Vulpix      : 5.還有三種方法，其中一色塗四根柱子，第二色塗天花
→ Vulpix      : 板東西兩側、地板南北兩側，剩下四條塗第三色。
→ Vulpix      : 6.看到這種東西都直接放托勒密定理，然後就簡單了。
→ Desperato   : 了解 我漏情況了
※ 編輯: Desperato (140.112.25.105), 10/10/2016 17:17:50
推 sendicmimic : 大家都用研究所級的數學知識在算國升高中的考題? XD
→ Desperato   : 有嗎 如果考慮是資優生的話 這些解法還可以吧
→ Vulpix      : 如果是說托勒密，考高中資優班的題目還滿愛出的。目
→ Vulpix      : 的是要考資優班的話，把證明和應用方法學起來不吃虧
→ Desperato   : 托勒密算好記好用的公式
→ Desperato   : 只是我是在學過三角後才學到托勒密 很不會用...
推 keroro321   : 2.f(2)=5*31
→ Desperato   : 又漏答案了qw q
※ 編輯: Desperato (140.112.25.105), 10/10/2016 17:45:31
推 Vulpix      : 2. case(c) 因為連續三數必有3的倍數，而-20不是3的
→ Vulpix      :    倍數，所以後者無解。