Re: [代數] 多項式整除

[tzhau (生命中無法承受之輕)]

※ 引述《shingai (吸收正能量)》之銘言：
: 題目為104 學科能力競賽之一題目
: 已知整數a可以使得x^2-x+a 能整除x^13+x+90
: 求a   ANS:2
: ____________________________________________
: 想不到好方法，把x^13一直同餘x^2-x+a 到最後是一堆關於高次形式a係數的東西
: 先謝謝！


由題意可知x^13+x+90=(x^2-x+a)*Q(x)，其中Q(x)為一整係數多項式

而x^13+x+90=0無正根，因此x^2-x+a=0無正根。

x^2-x+a=0 => x=(1/2)(1±√(1-4a))，故由無正根知 1-4a<0 => a>1/4

分別令x=0及x=1可得a|90且a|92，因此a|(92-90)=2，故 a=2



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→ shingai     : 請教為何確定Q(x)為一整係數多項式
推 Desperato   : 直接爆長除法 商數都會是整係數
推 shingai     : 補推，謝謝解除疑惑！
推 TOOYA       : a>1/4 ,a|2，a可能是1,2，如何排除1的可能？
推 TOOYA       : 無正根為什麼是判別式<0啊？ 判別式<0不是無實根嗎
→ TOOYA       : ？
→ kerwinhui   : @樓上，用 x^2-x+1 | x^3+1 排除 a=1，另外 x^2-x+a
→ kerwinhui   : 兩根之和是+1所以有實根必有正根
推 TOOYA       : 我是問"他的敘述中"，怎麼會無正根使用判別式<0，以
→ TOOYA       : 及如何排除a=1，不過這題也是蠻有趣的
→ kerwinhui   : 他的敘述中有 x=(1/2)(1±√(1-4a))，取正平方根會
→ kerwinhui   : 得正根(假如有實根)
→ kerwinhui   : 不過沒有排除a=1