[分析] 二元二階數值分析

[nemies (...)]

宣告 diff(x,t,2) 為 x(t) 被t微分兩次的寫法
     diff(x,t,1)                一次
     diff(y,t,2)    y(t)


想請問有兩個微分方程式

diff(x,t,2) = diff(x,t,1) + diff(y,t,1) + x + y + 1

diff(y,t,2) = diff(y,t,1) + x*y*diff(x,t,1) + x*sin(y) + 5

要怎麼用數值的方法去解呢？

感謝......


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.40.102.231
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1477053429.A.AFC.html
→ kerwinhui   : 變成 (x,x',y,y') 的四元一階非線性方程，有一堆方
→ kerwinhui   : 法可以用
我有換成這個形式去給Maxima跑，不過我有設x=C*e^(入*t)，
這樣又多兩個常數出來，Maxima我是用rk指令，
我猜這個指令是Runge-Kutta法，但我不知道怎樣在預先知道"C"和"入"的值去解？
※ 編輯: nemies (114.40.102.231), 10/21/2016 23:38:57
推 rex0707     : 想問定義域跟邊界條件是?
這個方程式我是亂設的，我要解的好幾頁都貼不完，
定義域是指t的最小到最大值嗎？ 邊界條件y(0)是知道的，
有可以不假設x是甚麼方程式的解法嗎？
※ 編輯: nemies (114.40.102.231), 10/22/2016 02:02:16
→ recorriendo : 微分方程的意義是是告訴它(x,y)怎麼動
→ recorriendo : 你當然還要跟它說出發點是哪 不然要解什麼
我以為這裡是數學板...原來是物理板，
如果我直接po系統架構應該會被噓到爆吧......
http://imgur.com/a/XBium
M(質量常數) 只會左右移動
m(質量常數) 會上下左右移動
k = 鋼索彈性係數; k(鋼索長度, 張力)
F(t) = 步階函數
求x(t) y(t), 或者是f(x,y) = sqrt(x^2 + y^2); 在t=0~10秒內的data
※ 編輯: nemies (114.40.69.43), 10/22/2016 09:39:19
推 sin55688    : 樓上意思應該說 原PO要給初始條件
→ Vulpix      : 還是看不懂原po到底想要什麼？  x不一定要寫成
→ Vulpix      : x=C*e^(λt)這個樣子啊，還是說C和λ都是函數？
→ Vulpix      : 因為你不是只多兩個常數，而是還少了x和x'的自由度
不太懂你說的自由度意思，但基本上，條件就是如圖，
x(0)和y(0)可以設為0，
人能操作的就是F(t) = M*X"(t); X'(0) = 0; X'(5) = 11;
X(t)是M的位置函數，x(t), y(t)是m的位置函數，
**為了簡化問題可以假設鋼索不會彎曲，但是會有伸長量，
  因此鋼索會有一個變形量e，此變形量方向與張力方向相同，
  張力T=k*e; k又是鋼索長度和張力的函數哦~
  而X(t)和x(t),y(t)的關係可以用三角形幾何的關係取得，
  (不過這樣的假設應該會有bug，我用程式在跑某些k值會出問題，
   實際情況，m與鋼索是用滑輪聯結的。)
  看這麼多...應該霧煞煞了吧，所以我還是直接問怎麼解二元二階聯立好了......
或是將力平衡方程式用Laplace轉換會比較簡單？Laplace我都忘光光了......
※ 編輯: nemies (114.40.69.43), 10/22/2016 11:29:35
→ doom8199    : 數值解法一般做法是先用 taylor series 近似 x',..
→ doom8199    : (如 finite difference), 接著在可行解區域內切割
→ doom8199    : sample 點, 可轉成非線性方程組 ,再用數值解方式
→ doom8199    : 遇到高次微分項,如 x'' , y''，可令 (z,u)=(x',y')
→ doom8199    : 就變成在處理一階非線性方程組
了解，我再想一下用多維梯度的概念去逼近。
※ 編輯: nemies (114.40.69.43), 10/22/2016 14:40:25
推 rex0707     : 恩...我就是想說可以用FDM去解XD
→ Vulpix      : x(0)=0，你又假設x=C*e^(λt)，這豈不是逼C=0嗎？
→ Vulpix      : 上面這個假設方式絕對不可行，應該要直接用rk之類的
→ Vulpix      : 解(x,x',y,y')的方程式。