Re: [機統] 如何證明n筆資料變異數最大的情形?

[doom8199 (～口卡口卡 修～)]

※ 引述《ck6fuz516 (不是一就是二)》之銘言：
: 假設n筆資料中最大值為M最小值為m
: 1.當n=偶數時
: 令n/2筆資料的數值=M,n/2筆資料的數值=m
: 可使變異數最大
: 2.當n=奇數時
: 令(n+1)/2筆資料的數值=M,(n-1)/2筆資料的數值=m
: ((n-1)/2筆資料的數值=M,(n+1)/2筆資料的數值=m也行)
: 也可使變異數最大
: 直覺上這個想法好像是對的
: 但小弟一直想給個數學證明但卻證不出來
: 想請教版上大大
: 該如何證明才好?
: 謝謝

    不知道你有沒有試著查我在推文中說的定理

    其等號成立部分應該足以釐清你的疑惑



    簡單說明:

    假設原始資料的隨機變數為 X

    令 X = m + (M-m)Y

    則 var(X) = (M-m)^2*var(Y)


    其中 var(Y) = E[Y^2] - E[Y]^2

                <= E[Y] - E[Y]^2

    等號成立於  E[Y^2] = E[Y]  , 即 Y in {0, 1}


    在有限離散情況下, 等號會發生在

        u := E[Y] = 0, 1/n, 2/n, ..., (n-1)/n, 1


    亦即 var(Y) = u - u^2 = -(u - 1/2)^2 + 1/4

       最大值發生在 u = (n +- 1)/(2n)  if n is odd number


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推 ck6fuz516   : 受教了...謝謝