[幾何] Atiyah 宣稱解決了六維球複結構問題

[TassTW (塔矢)]

前幾天 Atiyah 爵士在 arXiv 上丟下了一發震撼彈：
https://arxiv.org/abs/1610.09366

他宣稱使用 Atiyah-Singer 理論以及 KR-theory 可以證明六維球上不存在複結構,
這個大難題陳省身曾在 2004 年左右宣稱解決, 但是中間發現證明有瑕疵, 可惜的是
在他逝世之前還沒有機會把證明修正.

我對於技術細節一點都不懂, 數學社群最近也在討論這個證明, 因為太短, 缺少細節,
可能只有專家明白到底對不對.

(如果要聽路邊社消息的話, 我辦公室友有個朋友在做同樣的問題, 據他所說他們目前
相信這個證明有瑕疵過不去.)

以下我流翻譯 Atiyah 文章的序章來科普一下這個問題的歷史,
因為我的專長離這塊有點遠, 所以翻錯了請不吝指正
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看以下兩類流形：
a) 2n維球 S ^ 2n
b) 複數射影空間 P_n(C)
當 n = 1 時, 人們熟知二維球 S ^ 2 就是複射影線 P_1(C).
當 n > 1 時, 它們有相當不同的拓撲. 即使如此, 2n維球上仍然可能存在複結構
(complex structure), 並且與 P_n(C)的複結構相當不同. 如果是這樣, 那 2n維
球上便不會有 Kahler metric.

在五十年代初, 拓撲學取得了巨大的進展, 人們使用 Steenrod squares 排除了
n = 3 以外的所有可能, 也就是說只剩下六維球的情況沒有解決. 這是一個非常困
難的問題, 就連最好的幾何學家都束手無策, 像是最近陳省身在他生命中最後一年
取得了一些真正的成果.

六維球問題如此之難的原因是它有一個 almost complex structure J(0) - 源自
octonion,  六維球可以看成 imaginary octonions 的七維空間中的單位球. 但是
它並不可積, 也就是說  ¯δ 這個算子平方非零. 這個純代數的結果的源頭是因
為 octonion 沒有 associativity.

使用拓撲似乎不能確定六維球有沒有另一個可積的 almost complex structure.
在拓撲學家的軍火庫裡看來已經沒有什麼能打的了, 特別是沒有了 Kahler metric-
這是慣用的將 complex structure 透過 Hodge 理論得到拓撲的方式. 這代表了我
們需要一些嶄新的方法.

1953年, 在 Cornell 的一次研討會中, Hirzebruch 列出了幾何學中大量的重要問
題. 許多在接下來十年內被解決, 特別是圍繞 Hirzebruch Riemann-Roch 定理
(HRR) 的那些.  Atiyah 和 Singer 的 index 定理之後將戰場從射影代數幾何轉
移到為微分幾何. 特別來說, 對於複解析幾何不再有 Kahler 流形的限制. 這個
重點立即被 Kodaira 意識到而完成了 compact complex surfaces 的粗略分類,
包括了 non-Kahler surfaces 如 S^1×S^3.

在 HRR 後不久代數幾何迎來了一項重大突破 - Grothendieck 的 K 理論. 這給了
Atiyah-Hirzebruch 靈感來發展 K 理論的拓撲版本, 奠基於 unitary group 上的
Bott 週期定理. 這個 K 理論取代了 cohomology 在 index theory 中自然的地位.
注意到 Bott 週期定理在 orthogonal 和 symplectic groups 上都有對應的版本
(週期為 8 或 “半週期” 為4). 它也適用於 spin-manifolds. 也因此自然地聯
結到實數上的 index theory, 其中 fundamental operator 是 Dirac operator,
並且 mod 2 invariants 也作為 null spaces of skew-adjoint operators 的
mod 2 dimension 出現.

整數的 indices 可以用 Chern class 算出, Mod 2 invariants 在最低維的情況
可以用第一/第二 Stiefel-Whitney classes 得到, 在高維時他們較難處理, 需要
利用 KO 理論.

讓我們回顧一下使用 index theory 在證明 non-Kahler complex 流形上的 HRR
定理中的關鍵步驟：

1.1     holomorphic Euler charateristic 使用 sheaf cohomology 的 integer
        grading, 然而 index 僅依賴 K 理論的奇偶性.
1.2     當我們用 single elliptic operator D 來取代 Dolbeault complex 時,
        雖然 DD^* 不保持 grading, 但這不影響證明.
1.3     因此 index 只需要用到 almost complex structure 就能得到 Todd
        genus 的整數性.
1.4     類似地, 在正確的維度中使用 spin structure 便能得到 KO mod 2 index.
1.5     六維中的另一個例子來自 P_3(C) 上的 rank 2 bundle.

最後, Atiyah-Singer 理論中不依賴 metric 的選擇, 能得到 analytic index 等
於 topological index. 這也同時適用於整數和 mod 2 invariants. 因此在這領
域中我們中不需要管是分析還是拓撲. 這個新工具目前只有 Kodaira 充分利用了
它的威力.

我們將使用這個工具的 mod 2 版本來解決六維球問題. 我們需要的 K 理論的版本
是 KR理論, 來自實數上的代數幾何和微分算子.

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║請無垢無瑕        │                                  然我心啊，如磐石無轉
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推 ttt95217    : 樓下翻譯
推 LiamIssac   : 完全看不懂 電梯向下
推 Desperato   : 看不懂但還是推
推 HeterCompute: 看不懂但推Tass大
推 WINDHEAD    : 看起來是某種古老的技巧 但細節我不懂
→ kerwinhui   : 我也相信有瑕疵，但沒時間去詳細寫出來看
→ recorriendo : 我早就證出來了 但是推文的空間不夠
推 lwei781     : 五月底Atiyah 有一篇 Understanding the 6-Dimensio
→ lwei781     : Understanding the 6-Dimensional Sphere