[分析] Lebesgue R->R+可積的一個性質

[owo0098 (天津一)]

數學板安安

如題，有個練習題想問一下

Let f:R->R+ be a Lebesgue integrable function.
Prove that for almost every real number x, we
have f(n+x)->0 when |n|->infty (n integer).

後面附了一個簡單的問題(這個我會)
Do we have f(t)->0 when |t|->infty?

回到原題，我先說明
A={x in R, f(n+x)->0 |n|->infty} is measurable.
Because A= int uni int {x, 0<=f(n+x)<=1/k}
第一個int k=1 to infty
第二個uni N=1 to infty
第三個int |n|>=N
And {x, 0<=f(n+x}<=1/k} is measurable.
然後就做不出來了QQ

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→ kerwinhui   : 很明顯 A=q^{-1}(B), B subseteq R/Z，所以…
→ owo0098     : 樓上q是...？
→ kerwinhui   : quotient map R → R/Z
→ owo0098     : 好像不是很明顯耶
→ owo0098     : 取R/Z感覺很代數，所以要如何作結？
→ Desperato   : 照整數切塊分別積分 趨近於無限的塊積分會趨近於0