[中學]多項式函數

[Mistouko (Mistouko)]

題目1：實係數二次多項式函數y=f(x)的圖形與x軸交於(1,0)、(2,0)兩點；實係數二次
       多項式函數y=g(x)的圖形與x軸相交於(2,0)、(3,0)兩點。則f(x)+g(x)>0的解可
       能為下列哪些選項？
       (1)x>3或x<1  (2)x為任意實數  (3)x不等於2  (4)無解  (5)3/2<x<2

答案：(3)(4)(5)

想法：我假設 y=f(x)=a(x-1)(x-2)
             y=g(x)=b(x-2)(x-3)
      則 f(x)+g(x)=〔(a+b)x-(a+3b)〕×〔x-2〕>0
         必過x=2這個點，故(3)和(4)這兩個選項都沒問題。
         而若x=(a+b)/(a+3b)=2，則a=b，
         若a≠b，則如何能得到第(5)個選項，就不知如何解下去了。



題目2：f(x)為實係數三次多項式，若f(2+i)=5，f(1)=5，f(0)=15，則求f(2)=？

答案：3

想法：因為f(x)為實係數多項式，故設F(x)=f(x)-5，則F(x)也為實係數多項式，
      則應滿足虛根成對定理，即f(2-i)-5=0，
      故令x=2±i，化簡後形成 x^2-4x+5=0，
      即 F(x)=f(x)-5=a(x^2-4x+5)(x-1)-5
      則 x=0代入，F(0)=f(0)-5=10=-5a-5，故a=-3代回，
      即 f(x)=-3(x^2-4x+5)(x-1)
      x=2代入，f(2)=-3(4-8+5)=-3
      請問我哪裡解法有問題？

麻煩高手幫我解惑，非常感恩！


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推 y15973      : 第一題選項(5)，相加後3/2與2代入都是0解a、b
推 y15973      : 第二題F(x)=f(x)-5這一行就錯了
→ y15973      : 這一行最後沒有-5，不懂的話這一行代1看看就知道了
→ Mistouko    : 呃，拍謝，我還是不知道第一題為何3/2代入是0，可以
→ Mistouko    : 麻煩您再解釋一下嗎？抱歉^^
→ Mistouko    : 還有第二題，那怎麼解好呢？
→ Mistouko    : 設f(x)=(x-2-i)(x-1)(ax+b)+5，再用f(0)=15代入求a
→ Mistouko    : 是這樣嗎？麻煩您了，感恩歐！
→ Mistouko    : 啊，第二題我會了，就是設f(x)=a(x^2-4x+5)(x-1)+5
→ Mistouko    : 用f(0)=15，解出a=-2，即f(x)=-2(x^2-4x+5)(x-1)+5
→ Mistouko    : x=2代入，即可解出f(2)=3，謝謝您歐！