Re: [其他] 證明根號2是無理數

[Honor1984 (希望願望成真)]

※ 引述《joshua049 (你媽超胖)》之銘言：
: 小弟今天碰到一個問題
: Use strong induction to prove that √2 is irrational.
: Hint: Let P(n) be the statement that √2 ≠n/b for any positive integer b.
: 完全沒有頭緒@@
: 求各位大神開示~~~

P(1)，√2 ≠ 1/b 顯然成立

假設P(1), P(2)... P(k)都成立

P(k + 1)的敘述為√2 ≠ (k + 1)/b for any positive integer b

現在就來證明

如果(k + 1)和b可再約分，即最大公因數 > 1 => 問題退化成P(i)，某個i < k + 1

所以命題成立

如果(k + 1)和b互質，2 - ((k + 1)/b)^2 = [2b^2 - (k + 1)^2]/b^2

如果相等的話，k + 1必為偶數 => (k + 1)^2必為4的倍數

=> 同理b必為偶數 => b和k + 1至少有一公因數2，所以(k + 1)和b不互質，與假設矛盾

所以原命題成立

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推 joshua049   : 瞭解了 感激不盡~~~
→ kkagt       : 這歸納法感覺用的有點沒意義...因為實際上跟平常
→ kkagt       : 直接用反證法的證明沒什麼差別....
→ forget0309  : 在證明k+1的case時應該要用到前k個都成立的條件吧?
→ OppOops     : 有用到"P(i), i < k + 1"的條件
→ OppOops     : 不過如果這邊把歸納法順序倒過來寫, 跟反證法就一樣
→ OppOops     : 反證法用到p,q∈N, √2 = p/q, 這樣的p,q不存在
→ OppOops     : 看的就是整個正整數集合, 所以用歸納法就是遍歷N給
→ OppOops     : 你看這樣的描述方法.