Re: [微積]無限項乘積求極限的問題!有點難…

[kerwinhui (kezza)]

※ 引述《icesupply (思念,向秋天的樹葉~)》之銘言：
: 在做題目時遇到這個問題
: 一直做不出來
: 上來求救大家
: a_n=(1/4)^(n-1)*[5-4cos(2pi/n)]*[5-4cos(4pi/n)]*...*[5-4cos(2(n-1)pi/n)]
: 則 lim a_n=?
:    n->∞
: 感恩~

因為 (1/4)(5-4cos(x))=(1-exp(ix)/2)(1-exp(-ix)/2)，
所以 a_n 其實是一堆 (1-ζ^m/2)(1-ζ^(-m)/2) 乘出來的積，ζ^n=1，ζ^m 非 1
也就是 a_n=a_n(1)，a_n(z):=prod_{ζ^m != 1} (z-ζ^m/2)^2
(z-1/2)^2 a_n(z) = prod_m (z-ζ_n^m/2)^2 = (z^n-(1/2)^n)^2,
所以…

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『我思故我在』怎樣從法文變成拉丁文的：
je pense, donc je suis --- René Descartes, Discours de la Méthode (1637)
ego sum, ego existo    --- ____, Meditationes de Prima Philosophia (1641)
ego cogito, ergo sum   --- ____, Principia Philosophiae (1644)

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.101.8
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1481076331.A.DA3.html
※ 編輯: kerwinhui (140.112.101.8), 12/07/2016 10:13:35
推 icesupply   : k大，感謝您的解答，但我只看懂前二行，可否再說明?
我拿 z 去取代 (1-...) 中的 1，可以不做只是為了突顯代數方面的結果

(1-ζ^m/2) → (z-ζ^m/2)
(1-ζ^(-m)/2) → (z-ζ^(-m)/2)

然後乘起來，第一種可能不用變，第二種因為可以用ζ^(-m)=ζ^(n-m) 所以只是第一種
但次序相反。所以
a_n(z):=prod_{ζ_n^m != 1} (z-ζ_n^m/2)^2，ζ_n=exp(2 pi i/n)
ζ加注下標 n 只是為了記著是不同的n是用不同的ζ，也是有可以不用的辦法

然後就是記得 prod_{m=0,1,...,n-1} (X - ζ_n^m) = X^n - 1
所以加回 ζ^0=1 這個根方便運算
(z - 1/2)^2 a_n(z) = [prod_{0<=m<=n-1} (z - ζ_n^m/2)]^2
= (z^n - (1/2)^n)^2

最後，放回 z=1 得 a_n/4=(1-(1/2)^n)^2
所以 lim a_n = 4

→ icesupply   : 另外，這一題的答案是 4
→ yyc2008     : 請問一下prod是什麼?連乘?
推 icesupply   : 是連乘沒錯
※ 編輯: kerwinhui (140.112.101.8), 12/08/2016 21:20:12