推 GKBatchelor : 太厲害了! 十分感謝 12/15 01:06
※ 引述《GKBatchelor (Fluid dynamics)》之銘言：
: 請問一下
: 這個積分可用手算嗎?
: log(sin x)
: -∫------------ dx
: sin x
: 查了積分表上沒有
: 用 WolframAlpha 得到一串跟 dilogarithm function 有關的式子
: https://www.wolframalpha.com/input/?i=int+-log(sinx)%2Fsinx
: 謝謝
其實沒那麼難只是很煩。
log(sin x) log[sin^2 (x)] / 2
-------------- dx = -------------------- sin x dx
sin x sin^2 (x)
1 log(1 - u^2)
= --- ----------------- du (u = cos x)
2 1 - u^2
1 1 1
= --- [log(1+u) + log(1-u)] [ ----- - ----- ] du
2 u-1 u+1
所以可以拆成四項。
其中兩項是 log(y)/y dy 這種的自己做。
另外兩項方法一樣我只講一項：
log(1+u) log(2+v)
---------- du = ------------ dv (v = u-1)
u-1 v
log(2) + log(1 + v/2)
= ----------------------- dv
v
首項直接積就好，次項比較難搞。
把 log(1 + v/2) 泰勒展開再除以 v，整個變成
inf 1 n n-1
∫dv Σ --- (-1) (-1/2) v
n = 1 n
1 n
= Σ ----- (-1) (-v/2) （交換積分與級數和）
n n^2
這就是 Li_2 。
v = cos x - 1 在 -2 與 0 之間，log 的泰勒級數絕對收斂，
所以可以跟積分次序交換沒關係。
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