[其他] 連乘求極限

[OppOops (Oops)]

有一個題目是這樣描述:

A_k,B_k分別是a_i, b_i的連乘, 並且每次項數增長一倍,
A_k+1的後半段是由B_k每項位移2^(k+2)後連乘, 同理,
B_k+1的後半段是由A_k每項位移2^(k+2)後連乘:

A_0 = 2*3                B_0 = 1*4
A_1 = 2*3*5*8 = Πai     B_1 = 1*4*6*7 = Πbi


A_2 = A_1 * (b1+8)(b2+8)(b3+8)(b4+8)
    = A_1 * (1+8)*(4+8)*(6+8)*(7+8)

B_2 = B_1 * (a1+8)(a2+8)(a3+8)(b4+8)
    = B_1 * (2+8)*(3+8)*(5+8)*(8+8)


所以一般式為:
                  2^k
    A_k = A_k-1 * Π (bi + 2^(k+1))
                  i=1

                  2^k
    B_k = B_k-1 * Π (ai + 2^(k+1))
                  i=1

試求 C_k = A_k / B_k, 當 k->∞, lim C_k 為何.


我已經算出來的部分是 A_k * B_k = n! ,  n = 2^(k+1)

試著用stirling之類的估計upper bound, lower bound

都沒辦法得到有意義的結果, 範圍都是0到正無限大

想請問版上大神有沒有想法或Hint可以給我, 謝謝各位.
(有說法會趨近於1, 但不能確定)

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※ 編輯: OppOops (140.112.90.226), 12/22/2016 20:57:08
※ 編輯: OppOops (180.177.35.29), 12/22/2016 21:33:22
→ cuttlefish  : 還不會做 不過感覺上C_k應該是嚴格遞減到sqrt(2)