推 whenever7963: 斜率的意義是(y2-y1)/(x2-x1) 12/22 23:19
對 我知道 我的陡指的是曲線更貼近兩軸
你有答等於沒答
→ OppOops : (1)微積分 (2)3^x / 2^x 遞增 12/23 00:21
我要問高中方法 因為可能高中生會問
如果高中階段"確定"不能證 那我就會跟他說不能證
你說 3^x/2^x 遞增是啥意思? 第一你怎證它遞增? 高中方法嗎?
第二如果它遞增 又能說明我所問的嗎? 所謂 3^x/2^x 遞增 是它"越來越大"
可能x很大之後 分母相對分子很小 分子相對分母很大
你也不能說明它從頭到尾分母大還是分子大阿....
→ a88241050 : 3^x>2^x when x>0 12/23 00:22
你只是把我的問題重講一遍 有答等於沒答
→ rex0707 : 3^x/2^x = (1.5)^x > 1 if x>0 12/23 00:48
這好像說得通
可以接受 但這證明有點ad hoc
不是那麼直接 有沒有再更直接的說法?
推 OppOops : 令t = log(y); 3*log(x), 2*log(x) 比較 總行了吧 12/23 01:04
→ OppOops : 而且高中明明就有教微積分.. 12/23 01:08
以高中數學的課綱編排 是先講指數再講對數
對數是以指數的反函數來定義的
所以這種說明方法顯然並不好(除非你別無選擇 只能用對數來解釋)
→ dreamsletter: 指數函數嚴格遞增 因此函數（x,y)會成正比 而只要在 12/23 01:09
→ dreamsletter: 圖形上截一段切線就能藉由比較斜率知道前者比後者 12/23 01:09
→ dreamsletter: 抖啊 而因為嚴格遞增 因此抖只會更陡 前者較後者抖 12/23 01:09
→ dreamsletter: 這樣解釋可以嗎？ 12/23 01:09
可以講清楚點嗎?
推 DreamYeh : 這題感覺不是大家不會 而是要解釋到原po滿意... 12/23 01:17
→ dreamsletter: 更正 在x1 x2座標相同的情況下截割線 12/23 01:17
→ DreamYeh : 要以此類推的話 你證完整數 就可以往1/2 2/2..1/3.. 12/23 01:18
→ DreamYeh : 把有理數域類推完 然後類推sqr(2)...把非超越數證完 12/23 01:19
→ edgar111 : 樓上這樣做的話 原po大概會說對超越數沒證明吧 12/23 01:39
→ edgar111 : 還有 我想請原po說明一下 你能夠接受的高中教的工具 12/23 01:40
→ edgar111 : 有哪些 12/23 01:40
在教到指數之前還沒講微積分啦
並且用微積分來說明這事情 很容易一不小心就用到實數完備性
比方說 光是證明正數A的n次方根必存在 就會用到完備性了 更何況要用微分來幹一些事情
In fact, 高中課綱在定正底數的實數次方就已經用到完備性(只是課本草草帶過)
我只想看看 在最多接受實數指數可以定義的情況下 能不能說明我問的這個
→ edgar111 : 不然只會出現一堆你所謂“不好”的證明 12/23 01:41
※ 編輯: alfadick (220.141.112.34), 12/23/2016 01:46:31
→ edgar111 : 如果說以你說的 陡是靠近y軸 的話 我想能不能這樣 12/23 02:07
→ edgar111 : 看：固定某個y值 比較函數在那個y值時跟y軸的距離 12/23 02:07
→ edgar111 : 因為3>2 所以要達到一樣的y值須要自乘的次數 2會比3 12/23 02:07
→ edgar111 : OH21Be0.jpg 12/23 02:07
→ arthurduh1 : 首先，本來陡的定義最直接是用微分來看(或說差分吧) 12/23 03:04
→ arthurduh1 : 如果我沒誤會原PO對「陡」的新訂法 12/23 03:05
→ arthurduh1 : 檢查完整數點後，應該可以用「指數函數是遞增」 12/23 03:06
→ arthurduh1 : 這件事來說明沒檢查的部分 12/23 03:06
→ arthurduh1 : 不過對於很接近0的x，可能就要引進有理次方來估計了 12/23 03:08
→ arthurduh1 : 看了上面推文，原來原PO連遞增都有疑問... 12/23 03:13
→ arthurduh1 : 從定義開始，遞增應該不是難事。都能接受實數指數了 12/23 03:14
→ arthurduh1 : 你把你引進實數指數的方法說出來，大家(或是你自己) 12/23 03:21
→ arthurduh1 : 應該就能找方法證出遞增性了 12/23 03:22
→ doom8199 : 原po應該要先把 "f(x) 比 g(x) 陡 in some region" 12/23 07:11
→ doom8199 : 的定義寫出來吧, 不然大家怎知你要的是甚麼 12/23 07:13
推 Desperato : 基本上你的要求是不可能的 12/23 07:40
→ Desperato : 因為定義指數函數本身就要用到實數的完備性 12/23 07:41
→ Desperato : 反過來說 實數的完備性能用 那事情就簡單多了 12/23 07:44
→ dreamsletter: 是這樣 12/23 08:49
→ dreamsletter: 不過我不知道這樣講O不OK 我也只是高中生 12/23 08:50
→ wohtp : 證明 3^x > 2^x 也不能直接變成所謂「陡度」吧？ 12/23 14:49
→ wohtp : 難道 (x+1) 比 x 陡嗎？ 12/23 14:50
→ wohtp : 反而證 3^x/2^x 遞增才比較貼近「陡度」的本意 12/23 14:51
→ wohtp : 因為這個說明 x 越大的時候兩條曲線會拉得越開 12/23 14:52
→ wohtp : 也就是 3^x 跑得比 2^x 快 12/23 14:52
→ wohtp : 然後這就牽扯到 (1.5)^x 是不是遞增 12/23 14:55
→ wohtp : 然後...如果你連 a^x 這個函數本身的性質都還不能拿 12/23 14:56
→ wohtp : 來直接用，如果你還不知道 a^x 是什麼東西，你是要 12/23 14:57
→ wohtp : 怎麼討論 a^x 和 b^x 不同 a, b 的差異？ 12/23 14:57
推 ttt95217 : 安安 我共軛雙曲線喔 12/23 20:07
推 Gauss : 可以用比較方便吧有微積分 12/23 20:20
→ terry61302 : 你乾脆先證3>2吧 ㄏ 12/26 11:50