※ 引述《ADHD (注意力不足過動症)》之銘言：
: 先說|-
: Γ |- P
: 若且唯若可由集合Γ推導出P元素
: Γ |= P
: 若且唯若找不到集合Γ的元素全真而P為假的情況
: 如果我沒有翻譯錯的話
: 我的問題是可推導出P這件事不就是找不到Γ中的元素為真而P為假嗎
: 本來是只有下面那個
: 但是後來出現了上面的
: 我有點分不清
: 我一直理解為同一件事
以 propositional logic 來說
Γ |= P
就是在真值表中找不到一行
其中Γ的元素全真而P為假的情況
真值表的任一行就是一種"解釋"
它賦予了Γ的元素真假值
所以是 semantic
那為何需要 Γ |- P ?
因為真值表沒效率
它的行數會隨著Γ∪{P}中的
atomic sentences 的個數成指數成長
萬一 Γ 是無限集的話
真值表也畫不出來
所以我們需要其他的方法
也就是"推導"
推導需要遵循某些規則跟型式(語法)
所以是 syntactic
推導還有一些要求
例如必須在有限步驟完成
前提(Γ)也必須有限
(幸好我們有 compactness 可以轉化 Γ 是無限的情況)
所以 |= 跟 |- 在意義上有很大的差別
而且也不是所有的邏輯都有 completeness (Γ|= P implies Γ|- P )
二階邏輯好像就沒有?
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